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    12．某厂生产的某种零件的尺寸Z大致服从正态分布N（100，52），且规定尺寸Z∉（μ-3σ，μ+3σ）为次品，其余的为正品，生产线上的打包机自动把每4件零件打包成1箱，然后进入销售环节，若每销售一件正品可获利50元，每销售一件次品亏损100元，现从A生产线生产的零件中抽样25箱做质量分析，作出的频率分布直方图如下：
    （1）估计A生产线生产的零件的次品率及零件的平均尺寸；
    （2）从A生产线上随机取一箱零件，求这箱零件销售后的期望利润及不亏损的概率．

    分析 （1）由正态分布求出Z∉（85，115），由此能求出A生产线生产的产品次品率，由频率分布直方图能求出A生产线生产的零件的平均尺寸．
    （2）设A生产线上的一箱零件（4件）中的正品数为X，正品率为1-0.2=0.8，故X～B（4，0.8），E（X）=4×0.8=3.2，设销售A生产线上的一箱零件获利为Y元，由Y=50X-100（4-X）=150X-400，E（Y）=150E（X）-400=80元，设事件B：销售A生产线上的一箱零件不亏损，由此能求出这箱零件销售后的期望利润及不亏损的概率．

    解答 解：（1）∵某厂生产的某种零件的尺寸Z大致服从正态分布N（100，52），
    且规定尺寸Z∉（μ-3σ，μ+3σ）为次品，
    ∴Z∉（100-3×5，100+3×5），即Z∉（85，115），
    ∴A生产线生产的产品次品率为：0.012×10+0.008×10=0.20，
    A生产线生产的零件的平均尺寸为：
    0.012×10×80+0.024×10×90+0.036×10×100+0.020×10×110+0.008×10×120=98.8．
    （2）设A生产线上的一箱零件（4件）中的正品数为X，
    正品率为1-0.2=0.8，故X～B（4，0.8），E（X）=4×0.8=3.2，
    设销售A生产线上的一箱零件获利为Y元，由Y=50X-100（4-X）=150X-400，
    E（Y）=150E（X）-400=80元，
    设事件B：销售A生产线上的一箱零件不亏损，
    则这箱零件销售后的期望利润及不亏损的概率：
    P（B）=P（Y≥0）=P（X=3）+P（X=4）
    =${C}_{4}^{3}（\frac{1}{5}）（\frac{4}{5}）^{3}+{C}_{4}^{4}（\frac{4}{5}）^{4}$=0.8192．

    点评 本题考查次品率、平均尺寸、概率的求法，考查正态分布、频率分布直方图、n次独立重复事件中事件A恰好发生k次的概率计算公式等基础知识，考查运算求解能力，考查数结合思想，是基础题．

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