Question

13．在平面直角坐标系中，以坐标原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，已知圆C的圆心的极坐标为（$\sqrt{2}$，$\frac{3π}{4}$），半径r=1．
（1）求圆C的极坐标方程；
（2）若α∈[0，$\frac{π}{3}$]，直线l的参数方程为$\left\{\begin{array}{l}{x=tcosα}\\{y=2+tsinα}\end{array}\right.$（t为参数），点P的直角坐标为（0，2），直线l交圆C与A、B两点，求$\frac{|PA|•|PB|}{|PA|+|PB|}$的最小值．

Answer 1

分析 （1）根据题意，求出C的直角坐标，由圆的半径可得圆的直角坐标系下的方程，将其转化为极坐标方程即可得答案；
（2）将直线的参数方程与圆的一般方程联立可得t²+2（sinα+cosα）t+1=0，由根与系数的关系可得t₁+t₂=-2（sinα+cosα）＜0，t₁t₂=1，进而分析可得|PA|+|PB|=|t₁|+|t₂|=-（t₁+t₂）=2（sinα+cosα），|PA||PB|=|t₁t₂|=1，则有$\frac{|PA|•|PB|}{|PA|+|PB|}$=$\frac{1}{2（sinα+cosα）}$=$\frac{1}{2\sqrt{2}sin（α+\frac{π}{4}）}$，结合α的范围，分析可得答案．

解答 解：（1）根据题意，圆C的圆心的极坐标为（$\sqrt{2}$，$\frac{3π}{4}$），
则其直角坐标为x=ρcosθ=$\sqrt{2}$×cos$\frac{3π}{4}$=-1，y=ρsinθ=$\sqrt{2}$sin$\frac{3π}{4}$=1，
即C的直角坐标为（-1，1），
又由圆的半径r=1，
则圆C的直角坐标方程为（x+1）²+（y-1）²=1，即x²+y²+2x-2y+1=0，
则其极坐标方程为ρ²+2ρcosθ-2ρsinθ+1=0，
（2）由（1）可得，圆C的直角坐标方程为x²+y²+2x-2y+1=0，而直线l的参数方程为$\left\{\begin{array}{l}{x=tcosα}\\{y=2+tsinα}\end{array}\right.$，
将$\left\{\begin{array}{l}{x=tcosα}\\{y=2+tsinα}\end{array}\right.$代入圆C的方程可得：t²+2（sinα+cosα）t+1=0，
又由α∈[0，$\frac{π}{3}$]，
则有t₁+t₂=-2（sinα+cosα）＜0，t₁t₂=1，
则有t₁＜0，t₂＜0，
|PA|+|PB|=|t₁|+|t₂|=-（t₁+t₂）=2（sinα+cosα），
|PA||PB|=|t₁t₂|=1，
故$\frac{|PA|•|PB|}{|PA|+|PB|}$=$\frac{1}{2（sinα+cosα）}$=$\frac{1}{2\sqrt{2}sin（α+\frac{π}{4}）}$，
分析可得：当α=$\frac{π}{4}$时，α+$\frac{π}{4}$=$\frac{π}{2}$，$\frac{|PA|•|PB|}{|PA|+|PB|}$=$\frac{1}{2（sinα+cosα）}$=$\frac{1}{2\sqrt{2}sin（α+\frac{π}{4}）}$取得最小值$\frac{\sqrt{2}}{4}$；
故$\frac{|PA|•|PB|}{|PA|+|PB|}$的最小值为$\frac{\sqrt{2}}{4}$．

点评 本题考查圆的极坐标方程和参数方程的应用，是基础题，解题时要认真审题，注意极坐标、直角坐标互化公式、圆的性质的合理运用．