Question

14．设函数$f（x）=cos（ωx+φ）（ω＞0，-\frac{π}{2}＜φ＜0）$的最小正周期为π，且$f（\frac{π}{4}）=\frac{{\sqrt{3}}}{2}$．
（1）求ω和φ的值；
（2）给定坐标系中作出函数f（x）在[0，π]上的图象，并结合图象写出函数的单调递减区间（直接写出结果即可，不需要叙述过程）；
（3）若$f（x）＞\frac{{\sqrt{2}}}{2}$，求x的取值范围．

Answer 1

分析 （1）根据函数的周期和条件，建立方程关系进行求解即可．
（2）利用三角函数的图象关系进行作图即可．
（3）结合三角函数的不等式进行求解．

解答 解：（1）∵函数的最小正周期为π，
∴T=$\frac{2π}{ω}$=π，则ω=2，
则f（x）=cos（2x+φ），
由$f（\frac{π}{4}）=\frac{{\sqrt{3}}}{2}$得
$cos（2x+φ）=cos（2×\frac{π}{4}+φ）=cos（\frac{π}{2}+φ）=-sinφ=\frac{{\sqrt{3}}}{2}$，（4分）
即$sinφ=-\frac{{\sqrt{3}}}{2}，φ=-\frac{π}{3}$．（6分）
（2）f（x）=cos（2x-$\frac{π}{3}$），
如下图（10分）  

函数的单调递减区间$[kπ+\frac{π}{6}，kπ+\frac{2π}{3}]，（k∈Z）$．（12分）
（3）由（1）知$f（x）=cos（2x-\frac{π}{3}）$，
令$cos（2x-\frac{π}{3}）＞\frac{{\sqrt{2}}}{2}$，
得$2kπ-\frac{π}{4}＜2x-\frac{π}{3}＜2kπ+\frac{π}{4}，（k∈Z）$，即$2kπ+\frac{π}{12}＜2x＜2kπ+\frac{7π}{12}（k∈Z）$，（14分）
得$kπ+\frac{π}{24}＜x＜kπ+\frac{7π}{24}（k∈Z）$，即$x∈（kπ+\frac{π}{24}，kπ+\frac{7π}{24}），（k∈Z）$．（16分）

点评 本题主要考查三角函数的图象和性质，根据三角函数的图象求出ω 和φ的值是解决本题的关键．