Question

2．如图，在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆Γ：$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}$=1（a＞b＞0）的左、右焦点分别为F₁（-$\sqrt{3}$，0），F₂（$\sqrt{3}$，0），且椭圆Γ的上顶点到直线$\sqrt{3}$x+y+1=0的距离等于1．
（1）求椭圆Γ的标准方程；
（2）过点P（1，2）作两条倾斜角互补的两直线l₁，l₂分别交椭圆Γ于A，B，C，D四点，求k_AC+k_BD的值．

Answer 1

分析 （1）椭圆上顶点（0，b），由题意可得：$\frac{b+1}{2}$=1，c=$\sqrt{3}$，a²=b²+c²．联立解出即可得出．
（2）设直线l₁的斜率为k，则l₂的斜率为-k．A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），C（x₃，y₃），D（x₄，y₄）．直线l₁，l₂的方程分别为：y-2=k（x-1），y-2=-k（x-1），分别与椭圆的方程联立，利用根与系数的关系及其斜率计算公式即可得出．

解答 解：（1）椭圆上顶点（0，b），由题意可得：$\frac{b+1}{2}$=1，c=$\sqrt{3}$，a²=b²+c²．
联立解得b=1，a=2．
∴椭圆的标准方程为：$\frac{{x}^{2}}{4}+{y}^{2}$=1．
（2）设直线l₁的斜率为k，则l₂的斜率为-k．A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），C（x₃，y₃），D（x₄，y₄）．
直线l₁，l₂的方程分别为：y-2=k（x-1），y-2=-k（x-1），
联立$\left\{\begin{array}{l}{y=kx+2-k}\\{\frac{{x}^{2}}{4}+{y}^{2}=1}\end{array}\right.$，化为：（1+4k²）x²+（16k-8k²）x+4k²-16k+12=0，
△＞0，
∴x₁+x₂=$\frac{8{k}^{2}-16k}{1+4{k}^{2}}$，x₁x₂=$\frac{4{k}^{2}-16k+12}{1+4{k}^{2}}$，
同理可得：x₃+x₄=$\frac{8{k}^{2}+16k}{1+4{k}^{2}}$，x₃，x₄=$\frac{4{k}^{2}+16k+12}{1+4{k}^{2}}$，
∴k_AC+k_BD=$\frac{{y}_{3}-{y}_{1}}{{x}_{3}-{x}_{1}}$+$\frac{{y}_{4}-{y}_{2}}{{x}_{4}-{x}_{2}}$=$\frac{-k{x}_{3}+2+k-（k{x}_{1}+2-k）}{{x}_{3}-{x}_{1}}$+$\frac{-k{x}_{4}+k+2-（k{x}_{2}+2-k）}{{x}_{4}-{x}_{2}}$
=$\frac{-k（{x}_{3}+{x}_{1}-2）}{{x}_{3}-{x}_{1}}$+$\frac{-k（{x}_{4}+{x}_{2}-2）}{{x}_{4}-{x}_{2}}$
=$\frac{-2k[{x}_{3}{x}_{4}-{x}_{1}{x}_{2}+（{x}_{1}+{x}_{2}）-（{x}_{3}+{x}_{4}）]}{（{x}_{3}-{x}_{1}）（{x}_{4}-{x}_{2}）}$，
分子=-2k$[\frac{4{k}^{2}+16k+12}{1+4{k}^{2}}-\frac{4{k}^{2}-16k+12}{1+4{k}^{2}}$-$\frac{8{k}^{2}+16k}{1+4{k}^{2}}$+$\frac{8{k}^{2}-16k}{1+4{k}^{2}}]$
=0．
∴k_AC+k_BD=0．

点评 本题考查了椭圆的标准方程及其性质、直线与椭圆相交问题、一元二次方程的根与系数的关系、斜率计算公式，考查了推理能力与计算能力，属于难题．