Question

11．如图1，在等腰梯形ABCD中，AD∥BC，AD=2，BC=2（$\sqrt{2}$+1），DE⊥BC于E，DE=$\sqrt{10}$，现将梯形ABCD沿DE折成二面角B-DE-C（如图2），使得AC与平面BCE所成的角为45°

（Ⅰ）求证：AD∥平面BCE；
（Ⅱ）求二面角A-CE-B的平面角的正切值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）在等腰梯形ABCD中，AD∥BC，将梯形ABCD沿DE折成二面角B-DE-C后，AD∥BE，再由线面平行的判定可得AD∥平面BCE；
（Ⅱ）在等腰梯形ABCD中，由DE⊥BC，可得折叠后，DE⊥BE，DE⊥CE，由线面垂直的判定可得DE⊥平面BCE，过点A作AF⊥BE，连接CF，则AF∥DE，得AF⊥平面BCE，得到∠ACF即为使得AC与平面BCE所成的角为45°．求得CE=$\sqrt{2}$．可得△ACF为等腰直角三角形，在△CEF中，由余弦定理可得：cos∠ECF，进一步求得sin∠ECF，过点F作FM⊥CE的延长线于M，连接AM，可得AM⊥CE，得∠AMF即为二面角A-CE-B的平面角，求解直角三角形得答案．

解答 解：（Ⅰ）证明：∵在等腰梯形ABCD中，AD∥BC，
∴将梯形ABCD沿DE折成二面角B-DE-C后，AD∥BE，
又∵BE?平面BDE，AD不在平面BDE内，
∴AD∥平面BCE．
（Ⅱ）如图，
∵在等腰梯形ABCD中，DE⊥BC，
∴折叠后，有DE⊥BE，DE⊥CE，
又DE∩BE=E，∴DE⊥平面BCE，
过点A作AF⊥BE，连接CF，则AF∥DE，
∴AF⊥平面BCE，
∴∠ACF即为使得AC与平面BCE所成的角为45°．
∵AD=2，BC=2（$\sqrt{2}$+1），
∴CE=$\frac{1}{2}$（BC-AD）=$\sqrt{2}$．
∴△ACF为等腰直角三角形，
∴CF=AE=DE=$\sqrt{10}$，EF=AD=2．
在△CEF中，由余弦定理可得：
cos∠ECF=$\frac{C{F}^{2}+C{E}^{2}-E{F}^{2}}{2CF•CE}=\frac{10+2-4}{2×\sqrt{10}×\sqrt{2}}=\frac{2\sqrt{5}}{5}$．
∴sin$∠ECF=\frac{\sqrt{5}}{5}$．
过点F作FM⊥CE的延长线于M，连接AM，
则AM⊥CE，
∴∠AMF即为二面角A-CE-B的平面角，
∴tan∠AMF=$\frac{AF}{FM}=\frac{\sqrt{10}}{CF•sin∠FCE}=\frac{\sqrt{10}}{\sqrt{10}×\frac{\sqrt{5}}{5}}=\sqrt{5}$．

点评 本题主要考查直线与直线、直线与平面、平面与平面的位置关系，考查空间想象能力、推理论证能力及运算求解能力，考查化归与转化思想、数形结合思想、函数与方程思想及应用意识，是中档题．