Question

1．已知某商品的进货单价为1元/件，商户甲往年以单价2元/件销售该商品时，年销量为1万件，今年拟下调销售单价以提高销量增加收益．据估算，若今年的实际销售单价为x元/件（1≤x≤2），则新增的年销量P=4（2-x）²（万件）．
（1）写出今年商户甲的收益f（x）（单位：万元）与x的函数关系式；
（2）商户甲今年采取降低单价提高销量的营销策略，是否能获得比往年更大的收益（即比往年收益更多）？请说明理由．

Answer 1

分析 （1）由题意可得：f（x）=[1+4（2-x）²]（x-1），1≤x≤2．
（2）甲往年以单价2元/件销售该商品时，年销量为1万件，可得收益为1万元．f′（x）=（2x-3）（6x-11），利用导数研究其单调性即可得出结论．

解答 解：（1）由题意可得：f（x）=[1+4（2-x）²]（x-1），1≤x≤2．
（2）甲往年以单价2元/件销售该商品时，年销量为1万件，可得收益为1万元．
f′（x）=8（x-2）（x-1）+1+4（2-x）²=12x²-40x+33=（2x-3）（6x-11），
可得当x∈$[1，\frac{3}{2}）$时，函数f（x）单调递增；当x∈$（\frac{3}{2}，\frac{11}{6}）$时，函数f（x）单调递减；
当x∈$（\frac{11}{6}，2]$时，函数f（x）单调递增．
∴x=$\frac{3}{2}$时，函数f（x）取得极大值，$f（\frac{3}{2}）$=1；又f（2）=1．
∴当x=$\frac{3}{2}$或x=2时，函数f（x）取得最大值1（万元）．
因此商户甲今年采取降低单价提高销量的营销策略，不能获得比往年更大的收益．

点评 本题考查了利用导数研究函数的单调性极值与最值及其实际应用，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．