Question

6．设P为曲线C₁：$\frac{{x}^{2}}{64}$+$\frac{{y}^{2}}{9}$=1的任意一点，以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线l的极坐标方程为ρ（cosθ-2sinθ）=15，则点P到直线l的距离的最小值$\sqrt{5}$．

Answer 1

分析 直线l的极坐标方程为ρ（cosθ-2sinθ）=15，利用互化公式可得直角坐标方程．设P（8cosθ，3sinθ），利用点到直线的距离公式、和差公式与三角函数的单调性即可得出．

解答 解：直线l的极坐标方程为ρ（cosθ-2sinθ）=15，可得直角坐标方程：x-2y-15=0．
设P（8cosθ，3sinθ），则$\frac{|8cosθ-6sinθ-15|}{\sqrt{5}}$=$\frac{|10sin（θ-φ）+15|}{\sqrt{5}}$≥$\frac{5}{\sqrt{5}}$=$\sqrt{5}$，
当且仅当sin（θ-φ）=-1时取等号．
则点P到直线l的距离的最小值是$\sqrt{5}$．
故答案为：$\sqrt{5}$．

点评 本题考查了极坐标化为直角坐标、点到直线的距离公式、和差公式与三角函数的单调性，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．