Question

17．设△ABC的内角A、B、C的对边分别为a、b、c，且cosB=$\frac{4}{5}$，b=3．
（1）若角A与390°的终边相同，求a；
（2）当△ABC的面积为3时，求a²+c²的值．

Answer 1

分析 （1）根据cosB求得sinB，进而利用正弦定理求得a．
（2）利用三角形面积公式求得ac的值，进而利用余弦定理求得a²+c²的值，

解答 解：（1）∵角A与390°的终边相同，0°＜A＜180°，∴A=30°
∵cosB=$\frac{4}{5}$，∴$sinB=\frac{3}{5}$，
在△ABC中，由正弦定理得$\frac{a}{sinA}=\frac{b}{sinB}$，得a=$\frac{bsinA}{sinB}=\frac{5}{2}$；
（2）由S_△ABC=$\frac{1}{2}acsinB=3$，得ac=10，
在△ABC中，由余弦定理得：b²=a²+c²-2ac•cosB
⇒a²+c²=b²+2ac•cosB=9+2×$10×\frac{4}{5}$=25．

点评 本题主要考查了正弦定理和余弦定理的应用．正弦定理和余弦定理是解三角函数常用的方法，应熟练掌握．