Question

7．如图，四棱锥S-ABCD的底面是正方形，每条侧棱长都是底面边长的$\sqrt{2}$倍，P为侧棱SD上的点．
（1）若SD⊥平面PAC，求二面角P-AC-D的大小；
（2）侧棱SC上是否存在一点E，使得BE⊥SD，若存在，求SE：EC的值；若不存在，试说明理由．

Answer 1

分析 （1）连结BD，交AC于点O，连结OP，设SD的中点为Q，连结BQ，△SBD为等边三角形，推导出∠POD是二面角P-AC-D的平面角，求解直角三角形即可求出二面角P-AC-D的大小；
（2）在平面SCD内作QE∥CP，则QE∥面PAC，再由BQ∥面PAC，可得面EBQ∥面PAC，由此能得BE∥平面PAC，结合（1）中SD⊥平面PAC，可得BE⊥SD，进一步得到SE：EC=2：1．

解答 解：（1）由题意可知，四棱锥S-ABCD为正四棱锥．
连接BD交AC于O，连接OP，
∵SD⊥平面PAC，∴PD⊥AP，PD⊥PC，
在Rt△APD与Rt△CPD中，由AD=CD，PD=PD，可得Rt△APD≌Rt△CPD，
∴PA=PC，则PO⊥AC，又OD⊥AC，
∴∠POD为二面角P-AC-D的平面角．
设SD的中点为Q，
连结BQ，△SBD为等边三角形，∴BQ⊥SD，
∴P为QD的中点，∴P为SD的四等分点，
PD=$\frac{1}{4}$SD，OD=$\frac{1}{2}$BD，
sin∠POD=$\frac{PD}{OD}=\frac{\frac{1}{4}SD}{\frac{1}{2}BD}=\frac{1}{2}$，
由图可知二面角P-AC-D为锐二面角，
∴二面角P-AC-D的大小为30°；
（2）存在点E且SE：EC=2：1，使得BE⊥SD．
证明如下：
在平面SCD内作QE∥CP，∴QE∥面PAC，
又BQ∥OP，∴BQ∥面PAC，
又QE∩BQ=Q，∴面EBQ∥面PAC，
∵BE?面EBQ，∴BE∥面PAC，
由（1）知SD⊥平面PAC，∴BE⊥SD，
此时SE：EC=SQ：QP=2：1．

点评 本题考查二面角的求法，考查推理论证能力、运算求解能力、空间想象能力，考查数形结合思想方法和转化化归思想方法，是中档题．