Question

1．已知函数f（x）=2sinxsin（$\frac{π}{6}$-x）．
（Ⅰ）求f（$\frac{π}{3}$）及f（x）的最小正周期T的值；
（Ⅱ）求f（x）在区间[-$\frac{π}{6}$，$\frac{π}{4}$]上的最大值和最小值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）利用三角恒等变换求得f（x）的解析式，从而求得f（$\frac{π}{3}$）及f（x）的最小正周期T的值．
（Ⅱ）利用正弦函数的定义域和值域，求出f（x）在区间[-$\frac{π}{6}$，$\frac{π}{4}$]上的最大值和最小值．

解答 解：（Ⅰ）函数f（x）=2sinxsin（$\frac{π}{6}$-x）=2sinx•（$\frac{1}{2}$cosx-$\frac{\sqrt{3}}{2}$sinx）
=$\frac{1}{2}$sin2x-$\sqrt{3}$sin²x=$\frac{1}{2}$sin2x-$\sqrt{3}$•$\frac{1-cos2x}{2}$
=$\frac{1}{2}$sin2x+$\frac{\sqrt{3}}{2}$cos2x-$\frac{\sqrt{3}}{2}$=sin（2x+$\frac{π}{3}$）-$\frac{\sqrt{3}}{2}$，
∴f（$\frac{π}{3}$）=sinπ-$\frac{\sqrt{3}}{2}$=-$\frac{\sqrt{3}}{2}$，
∴T=$\frac{2π}{2}$=π．
（Ⅱ）在区间[-$\frac{π}{6}$，$\frac{π}{4}$]上，2x+$\frac{π}{3}$∈[0，$\frac{5π}{6}$]，
∴当2x+$\frac{π}{3}$=$\frac{π}{2}$时，函数f（x）取得最大值为1-$\frac{\sqrt{3}}{2}$，
当2x+$\frac{π}{3}$=0时，函数f（x）取得最小值为0-$\frac{\sqrt{3}}{2}$=-$\frac{\sqrt{3}}{2}$．

点评 本题主要考查三角恒等变换，正弦函数的周期性、定义域和值域，属于中档题．