Question

2．已知定义域为[-1，0）∪（0，1]的奇函数f（x），当x∈（0，1]时，f（x）=$\sqrt{1-{x}^{2}}$，则不等式f（x）＜f（-x）+x的解集为（$\frac{\sqrt{3}}{2}$，1]∪[-1，-$\frac{\sqrt{3}}{2}$）．

Answer 1

分析 先求出-1≤x＜0时，f（x）=-f（-x）=-$\sqrt{1-{x}^{2}}$，再分类讨论，化抽象不等式为具体的不等式，即可得出结论．

解答 解：设-1≤x＜0，则0＜-x≤1，
∵当0＜x≤1时，f（x）=$\sqrt{1-{x}^{2}}$，∵f（x）是定义域为[-1，0）∪（0，1]的奇函数，
∴-1≤x＜0，f（x）=-f（-x）=-$\sqrt{1-{x}^{2}}$．
当0＜x≤1时，不等式f（x）＜f（-x）+1可化为$\sqrt{1-{x}^{2}}$＜-$\sqrt{1-{x}^{2}}$+1，即0≤1-x²$＜\frac{1}{4}$，∴$\frac{\sqrt{3}}{2}$＜x≤1，
当-1≤x＜0时，不等式f（x）＜f（-x）+1可化为0≤1-x²$＜\frac{1}{4}$，∴-1≤x＜-$\frac{\sqrt{3}}{2}$；
综上，不等式f（x）＜f（-x）+1的解集为（$\frac{\sqrt{3}}{2}$，1]∪[-1，-$\frac{\sqrt{3}}{2}$）．
故答案为：（$\frac{\sqrt{3}}{2}$，1]∪[-1，-$\frac{\sqrt{3}}{2}$）．

点评 本题考查函数的奇偶性，考查解不等式，函数与方程的应用，确定-1≤x＜0时，f（x）=-f（-x）的解析式，正确分类讨论是关键．