Question

14．设函数f（x）=x²+2（a-a²）x+4a-1，若存在x₁∈[a-2，a-1]，存在x₂∈[a+3，a+6]，满足f（x₁+1）=f（x₂），则实数a的取值范围为（$\frac{2-\sqrt{14}}{2}$，$\frac{2-\sqrt{10}}{2}$）∪（$\frac{2+\sqrt{10}}{2}$，$\frac{2+\sqrt{14}}{2}$）．

Answer 1

分析 由f（x₁+1）=f（x₂），推导出[（x₁+1）-（a²-a）]²=[x₂-（a²-a）]²，从而x₁+x₂=2（a²-a）-1，进而2a+2≤2（a²-a）-1≤2a+4，由此能求出实数a的取值范围．

解答 解：∵f（x）=x²+2（a-a²）x+4a-1=[x-（a²-a）]²-（a-a²）²+4a-1，
∴f（x₁+1）=[（x₁+1）-（a²-a）]²-（a-a²）²+4a-1，
f（x₂）=[x₂-（a²-a）]²-（a-a²）²+4a-1，
∵f（x₁+1）=f（x₂），
∴[（x₁+1）-（a²-a）]²=[x₂-（a²-a）]²，
（x₁+1）²-2（a²-a）（x₁+1）=x₂²-2（a²-a）x₂，
（x₁+1-x₂）（x₁+x₂+1）=2（a²-a）（x₁+1-x₂），
∴x₁+x₂=2（a²-a）-1，
∵x₁+x₂≤a+6+（a-2）=2a+4，
∴x₁+x₂≥a+3+（a-1）=2a+2，
∴2a+2≤2（a²-a）-1≤2a+4，
整理，得：2a²-4a-3≥0或2a²-4a-5≤0，
解得实数a的取值范围为（$\frac{2-\sqrt{14}}{2}$，$\frac{2-\sqrt{10}}{2}$）∪（$\frac{2+\sqrt{10}}{2}$，$\frac{2+\sqrt{14}}{2}$）．
故答案为：（$\frac{2-\sqrt{14}}{2}$，$\frac{2-\sqrt{10}}{2}$）∪（$\frac{2+\sqrt{10}}{2}$，$\frac{2+\sqrt{14}}{2}$）．

点评 本题考查实数的取值范围的求法，考查二次函数、一元二次不等式等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力，考查化归与转化思想、函数与方程思想，是中档题．