Question

6．已知正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁的棱长为1，E是棱D₁C₁的中点，点F在正方体内部或正方体的表面上，若EF∥平面A₁BC₁，则动点F的轨迹所形成的区域面积是（　　）

• A． $\frac{9}{8}$
• B． $\frac{\sqrt{3}}{2}$
• C． $\frac{3\sqrt{3}}{4}$
• D． $\sqrt{2}$

Answer 1

分析 分别取棱CC₁、BC、AB、AA₁、A₁D₁的中点M、N、G、Q、P，推导出平面EMNGQP∥平面A₁BC₁，从而动点F的轨迹所形成的区域是平面EMNGQP，由此能求出动点F的轨迹所形成的区域面积．

解答 解：如图，分别取棱CC₁、BC、AB、AA₁、A₁D₁的中点M、N、G、Q、P，
则PE∥A₁C₁∥GN，EM∥A₁B∥GQ，PQ∥BC₁∥MN，
∴平面EMNGQP∥平面A₁BC₁，
∵点F在正方体内部或正方体的表面上，若EF∥平面A₁BC₁，
∴动点F的轨迹所形成的区域是平面EMNGQP，
∵正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁的棱长为1，
∴PE=EM=MN=NG=GQ=PQ=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，PN=$\sqrt{2}$，
∴E到PN的距离d=$\sqrt{（\frac{\sqrt{2}}{2}）^{2}-（\frac{\sqrt{2}}{4}）^{2}}$=$\frac{\sqrt{6}}{4}$，
∴动点F的轨迹所形成的区域面积：
S=2S_梯形PNME=2×$\frac{\frac{\sqrt{2}}{2}+\sqrt{2}}{2}×\frac{\sqrt{6}}{4}$=$\frac{3\sqrt{3}}{4}$．
故选：C．

点评 本题考查动点F的轨迹所形成的区域面积的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查推理论证能力、空间想象能力、运算求解能力，考查化归与转化思想、数形结合思想，是中档题．