Question

19．若不等式ax²-bx+c＞0的解集为{x|-2＜x＜3}，求不等式cx²-bx-a＜0的解集．

Answer 1

分析 根据题意，由不等式ax²-bx+c＞0的解集为{x|-2＜x＜3}，分析可得-2，3是对应方程ax²+bx+c=0的两个根，且a＜0，由根与系数的关系的分析可得b=-a，c=-6a，进而可以将不等式cx²+bx+a＞0等价变形为6x²+x-1＞0，解可得x的取值范围，即可得答案．

解答 解：根据题意，若不等式ax²-bx+c＞0的解集为{x|-2＜x＜3}，
则-2，3是对应方程ax²+bx+c=0的两个根，且a＜0，
则有$\left\{\begin{array}{l}{（-2）+3=-\frac{b}{a}}\\{（-2）×3=\frac{c}{a}}\end{array}\right.$，解可得b=-a，c=-6a，
则不等式cx²+bx+a＞0等价为-6ax²-ax+a＞0，
又由a＜0，
则有6x²+x-1＞0，
即（2x+1）（3x-1）＞0，
解可得x＞$\frac{1}{3}$或x＜-$\frac{1}{2}$，
故不等式cx²-bx-a＜0的解集为{x|x＞$\frac{1}{3}$或x＜-$\frac{1}{2}$}．

点评 本题主要考查了一元二次不等式的求解，注意分析a的取值范围．