Question

11．△ABC的三内角A、B、C满足sin²A+sin²B=2sin²C，那么cosC的最小值是$\frac{1}{2}$．

Answer 1

分析 由已知即正弦定理可得c²=$\frac{{a}^{2}+{b}^{2}}{2}$，进而由余弦定理，基本不等式可得cosC的最小值．

解答 解：∵sin²A+sin²B=2sin²C，
∴由正弦定理可得：a²+b²=2c²，即c²=$\frac{{a}^{2}+{b}^{2}}{2}$，
∴由余弦定理可得：cosC=$\frac{{a}^{2}+{b}^{2}-{c}^{2}}{2ab}$=$\frac{\frac{{a}^{2}+{b}^{2}}{2}}{2ab}$=$\frac{{a}^{2}+{b}^{2}}{4ab}$≥$\frac{2ab}{4ab}$=$\frac{1}{2}$，当且仅当a=b时等号成立．
即cosC的最小值是$\frac{1}{2}$．
故答案为：$\frac{1}{2}$．

点评 本题主要考查了正弦定理，余弦定理，基本不等式在解三角形中的综合应用，考查了转化思想，属于中档题．