Question

2．设数列{a_n}满足a₁=1，a_n=2a_n+1，设b_n=log₂a_n，则数列{b_n}的前n项之和是（　　）

• A． $\frac{n（n-1）}{2}$
• B． $\frac{n（1-n）}{2}$
• C． n-1
• D． $\frac{n（n+1）}{2}$

Answer 1

分析 由已知数列递推式可得数列{a_n}是以1为首项，以$\frac{1}{2}$为公比的等比数列，求其通项公式后代入b_n=log₂a_n，再由等差数列的前n项和得答案．

解答 解：由a_n=2a_n+1，得$\frac{{a}_{n+1}}{{a}_{n}}=\frac{1}{2}$，
又a₁=1，
∴数列{a_n}是以1为首项，以$\frac{1}{2}$为公比的等比数列，
则${a}_{n}=（\frac{1}{2}）^{n-1}$．
∴b_n=log₂a_n=$lo{g}_{2}（\frac{1}{2}）^{n-1}=1-n$．
∴数列{b_n}的前n项之和是S_n=（1-1）+（1-2）+（1-3）+…+（1-n）
=n-（1+2+3+…+n）=n-$\frac{n（n+1）}{2}$=$\frac{n（1-n）}{2}$．
故选：B．

点评 本题考查等比数列的通项公式，考查了对数的运算性质，训练了等差数列前n项和的求法，是中档题．