Question

12．已知向量$\overrightarrow{a}$=（cos20°，sin20°），$\overrightarrow{b}$=（sin10°，cos10°）．若t为实数，且$\overrightarrow{u}$=$\overrightarrow{a}$+t$\overrightarrow{b}$，则|$\overrightarrow{u}$|的最小值为（　　）

• A． $\sqrt{2}$
• B． 1
• C． $\frac{\sqrt{3}}{2}$
• D． $\frac{\sqrt{2}}{2}$

Answer 1

分析 利用向量关系，通过向量的模，求出t的表达式，然后求解最值．

解答 解：向量$\overrightarrow{a}$=（cos20°，sin20°），$\overrightarrow{b}$=（sin10°，cos10°）．若t为实数，且$\overrightarrow{u}$=$\overrightarrow{a}$+t$\overrightarrow{b}$，
则|$\overrightarrow{u}$|=|（cos20°+tsin10°，sin20°+tcos10°）|=$\sqrt{（cos20°+tsin10°）^{2}+（sin20°+tcos10°）^{2}}$=$\sqrt{1+2tsin30°+{t}^{2}}$=$\sqrt{1+t+{t}^{2}}$，
当t=$-\frac{1}{2}$时，表达式取得最小值：$\sqrt{1-\frac{1}{2}+\frac{1}{4}}$=$\frac{\sqrt{3}}{2}$．
故选：C．

点评 本题考查三角函数的化简求值，向量的模的求法，考查计算能力．