Question

1．设△ABC的内角A，B，C所对的边长分别为a，b，c，且acosB-bcosA=$\frac{3}{5}$c，则tan（A-B）的最大值为（　　）

• A． $\frac{3}{5}$
• B． $\frac{1}{3}$
• C． $\frac{3}{8}$
• D． $\frac{3}{4}$

Answer 1

分析 利用正弦定理，将已知等式化简整理得sinAcosB=4sinBcosA，两边同除以cosAcosB，得到tanA=4tanB．利用两角差的正切公式，得tan（A-B）=$\frac{3}{\frac{1}{tanB}+4tanB}$，最后利用基本不等式求最值，可得当且仅当tanB=$\frac{1}{2}$时，tan（A-B）的最大值为$\frac{3}{4}$．

解答 解：∵acosB-bcosA=$\frac{3}{5}$c，
∴结合正弦定理，得sinAcosB-sinBcosA=$\frac{3}{5}$sinC，
∵C=π-（A+B），得sinC=sin（A+B），
∴sinAcosB-sinBcosA=$\frac{3}{5}$（sinAcosB+cosAsinB），
整理，得sinAcosB=4sinBcosA，同除以cosAcosB，得tanA=4tanB，
由此可得tan（A-B）=$\frac{tanA-tanB}{1+tanAtanB}$=$\frac{3tanB}{1+4ta{n}^{2}B}$=$\frac{3}{\frac{1}{tanB}+4tanB}$，
∵A、B是三角形内角，且tanA与tanB同号，
∴A、B都是锐角，即tanA＞0，tanB＞0，
∵$\frac{1}{tanB}$+4tanB≥2 $\sqrt{\frac{1}{tanB}•4tanB}$=4，
∴tan（A-B）=$\frac{3}{\frac{1}{tanB}+4tanB}$≤$\frac{3}{4}$，当且仅当$\frac{1}{tanB}$=4tanB，即tanB=$\frac{1}{2}$时，tan（A-B）的最大值为$\frac{3}{4}$．
故选：D．

点评 本题已知三角形边角的一个关系式，求tan（A-B）的最大值，着重考查了正弦定理、两角差的正切公式和基本不等式求最值等知识，属于中档题．