Question

10．某城市有甲、乙、丙三个旅游景点，一位游客游览这三个景点的概率分别是0.4、0.5、0.6，且游客是否游览哪个景点互不影响，用ξ表示该游客离开该城市时游览的景点数与没有游览的景点数之差的绝对值．
（1）求ξ的分布列及期望；
（2）记“f（x）=2ξx+4在[-3，-1]上存在x，使f（x）=0”为事件A，求事件A的概率．

Answer 1

分析 （1）分别记“客人游览甲景点”，“客人游览乙景点”，“客人游览丙景点”为事件A₁，A₂，A₃由已知A₁，A₂，A₃相互独立，P（A₁）=0.4，P（A₂）=0.5，P（A₃）=0.6，客人游览的景点数的可能取值为0，1，2，3，相应地，客人没有游览的景点数的可能取值为3，2，1，0，ξ的可能取值为1，3，分别求出相应的概率，由此能求出ξ的分布列和Eξ．
（2）由f（x）=2ξx+4=0，得x=-$\frac{4}{2ξ}$=-$\frac{2}{ξ}$∈[-3，-1]，由ξ的可能取值为1，3，解得ξ=1，由此能求出事件A的概率P（A）=P（ξ=1）．

解答 解：（1）分别记“客人游览甲景点”，“客人游览乙景点”，“客人游览丙景点”为事件A₁，A₂，A₃
由已知A₁，A₂，A₃相互独立，
P（A₁）=0.4，P（A₂）=0.5，P（A₃）=0.6
客人游览的景点数的可能取值为0，1，2，3
相应地，客人没有游览的景点数的可能取值为3，2，1，0，
所以ξ的可能取值为1，3
P（ξ=3）=P（A₁•A₂•A₃）+P（$\overline{{A}_{1}}•\overline{{A}_{2}}•\overline{{A}_{3}}$）
=P（A₁）P（A₂）P（A₃）+P（$\overline{{A}_{1}}$）P（$\overline{{A}_{2}}$）P（$\overline{{A}_{3}}$）=2×0.4×0.5×0.6=0.24，
P（ξ=1）=1-0.24=0.76
所以ξ的分布列为 

ξ	1	3
P	0.76	0.24

Eξ=1×0.76+3×0.24=1.48．
（2）记“f（x）=2ξx+4在[-3，-1]上存在x，使f（x）=0”为事件A，
∴f（x）=2ξx+4=0，得x=-$\frac{4}{2ξ}$=-$\frac{2}{ξ}$∈[-3，-1]，
由ξ的可能取值为1，3，解得ξ=1，
∴事件A的概率P（A）=P（ξ=1）=0.76．

点评 本题考查离散型随机变量的分布列、数学期望的求法，考查概率的求法，考查离散型随机变量的分布列、数学期望、函数性质等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力，考查化归与转化思想、函数与方程思想，是中档题．