Question

14．已知$cos（α-\frac{π}{6}）+sinα=\frac{{4\sqrt{3}}}{5}$，则$sin（α+\frac{7π}{6}）$的值为（　　）

• A． $\frac{1}{2}$
• B． $\frac{{\sqrt{3}}}{2}$
• C． $-\frac{4}{5}$
• D． $-\frac{1}{2}$

Answer 1

分析 利用两角和与差的三角函数化简，利用诱导公式求解即可．

解答 解：$cos（α-\frac{π}{6}）+sinα=\frac{{4\sqrt{3}}}{5}$，
可得$\frac{\sqrt{3}}{2}$cosα+$\frac{1}{2}sinα$+sinα=$\frac{4\sqrt{3}}{5}$
$\frac{\sqrt{3}}{2}$cosα+$\frac{3}{2}$sinα=$\frac{4\sqrt{3}}{5}$
可得$\sqrt{3}（\frac{1}{2}cosα+\frac{\sqrt{3}}{2}sinα）=\frac{4\sqrt{3}}{5}$，
$\frac{1}{2}cosα+\frac{\sqrt{3}}{2}sinα$=$\frac{4}{5}$．
sin（$α+\frac{π}{6}$）=$\frac{4}{5}$
则$sin（α+\frac{7π}{6}）$=-sin（$α+\frac{π}{6}$）=-$\frac{4}{5}$．
故选：C．

点评 本题考查两角和与差的三角函数，诱导公式的应用，考查计算能力．