Question

1．向量$\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow{b}$，$\overrightarrow{c}$满足|$\overrightarrow{a}$|=|$\overrightarrow{b}$|=1，$\overrightarrow{a}$$•\overrightarrow{b}$=$\frac{1}{2}$，若$\overrightarrow{a}$$-\overrightarrow{c}$和$\overrightarrow{b}$-$\overrightarrow{a}$夹角为120°，则|$\overrightarrow{c}$|的最大值为（　　）

• A． $\sqrt{3}$
• B． 2
• C． $\frac{2}{3}$$\sqrt{3}$
• D． $\sqrt{2}$

Answer 1

分析 利用向量的数量积求出$\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow{b}$的夹角；利用向量的运算法则作出图；结合图，判断出四点共圆；利用正弦定理求出外接圆的直径，求出$|\overrightarrow{c}|$ 的最大值．

解答 解：由|$\overrightarrow{a}$|=|$\overrightarrow{b}$|=1，$\overrightarrow{a}$$•\overrightarrow{b}$=$\frac{1}{2}$，
可得 1×1×cos$＜\overrightarrow{a}\;，\;\;\overrightarrow{b}＞$=$\frac{1}{2}$，
∴cos$＜\overrightarrow{a}\;，\;\;\overrightarrow{b}＞$=$\frac{1}{2}$，$＜\overrightarrow{a}\;，\;\;\overrightarrow{b}＞$=60°．
如图所示：设$\overrightarrow{OA}\;=\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow{OB}\;=\overrightarrow{b}$，$\overrightarrow{OC}\;=\overrightarrow{c}$，
则 $\overrightarrow{CA}\;=\overrightarrow{a}-\overrightarrow{c}$，$\overrightarrow{CB}\;=\overrightarrow{b}-\overrightarrow{c}$．
则∠AOB=60°；∠ACB=120°，∴∠AOB+∠ACB=180°，
∴A，O，B，C四点共圆．
∴$\overrightarrow{AB}\;=\overrightarrow{b}-\overrightarrow{a}$，${\overrightarrow{AB}}^{2}$=${\overrightarrow{b}}^{2}$+${\overrightarrow{a}}^{2}$-2$\overrightarrow{a}•\overrightarrow{b}$=1+1-2×$\frac{1}{2}$=1，∴|$\overrightarrow{AB}$|=1．
由三角形的正弦定理得外接圆的直径2R=$\frac{AB}{sin∠ACB}$=$\frac{1}{\frac{\sqrt{3}}{2}}$=$\frac{2\sqrt{3}}{3}$，
当OC为直径时，它的模$|\overrightarrow{c}|$最大，最大为$\frac{2\sqrt{3}}{3}$，
故选C．

点评 本题考查向量的数量积公式、向量的运算法则、四点共圆的判断定理、三角形的正弦定理，属于中档题．