Question

10．已知函数f（x+$\frac{1}{2}$）为奇函数，g（x）=f（x）+1，若a_n=g（$\frac{n}{2017}$），则数列{a_n}的前2016项和为（　　）

• A． 2017
• B． 2016
• C． 2015
• D． 2014

Answer 1

分析 函数f（x+$\frac{1}{2}$）为奇函数，可得f（-x+$\frac{1}{2}$）+f（x+$\frac{1}{2}$）=0，f（1-x）+f（x）=0．又g（x）=f（x）+1，可得g（1-x）+g（x）=f（1-x）+1+f（x）+1=2．利用倒序相加即可得出．

解答 解：∵函数f（x+$\frac{1}{2}$）为奇函数，∴f（-x+$\frac{1}{2}$）+f（x+$\frac{1}{2}$）=0，
∴f（1-x）+f（x）=0．
又g（x）=f（x）+1，∴g（1-x）+g（x）=f（1-x）+1+f（x）+1=2．
∵a_n=g（$\frac{n}{2017}$），
则数列{a_n}的前2016项和=$g（\frac{1}{2017}）$+$g（\frac{2}{2017}）$+…+$g（\frac{2016}{2017}）$
=$\frac{1}{2}$$[g（\frac{1}{2017}）+g（\frac{2016}{2017}）$+$g（\frac{2}{2017}）+g（\frac{2015}{2017}）$+…+$g（\frac{2016}{2017}）+g（\frac{1}{2017}）]$
=$\frac{1}{2}$×2×2016
=2016．
故选：B．

点评 本题考查了函数的奇偶性、倒序相加、数列求和，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．