Question

19．已知椭圆 $\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}$=1（a＞b＞0）的左右焦点分别为F₁，F₂，离心率为$\frac{{\sqrt{6}}}{3}$，直线y=kx与椭圆相交于 A、B 两点，|AF₂|+|BF₂|=2$\sqrt{3}$．
（Ⅰ）求椭圆的方程；
（Ⅱ）设M，N 分别为线段AF₂，BF₂的中点，原点O在以MN为直径的圆内，求实数k的取值范围．

Answer 1

分析 （Ⅰ）可得四边形AF₁BF₂是平行四边形，即|AF₂|+|BF₂|=|BF₁|+|BF₂|=2a=2$\sqrt{3}$．
可得a=$\sqrt{3}$，b=1，即可得椭圆的方程；
（Ⅱ）由$\left\{\begin{array}{l}{\frac{{x}^{2}}{3}+{y}^{2}=1}\\{y=kx}\end{array}\right.$得B（$\sqrt{\frac{3}{1+3{k}^{2}}}$，k•$\sqrt{\frac{3}{1+3{k}^{2}}}$），A（-$\sqrt{\frac{3}{1+3{k}^{2}}}$．-k$•\sqrt{\frac{3}{1+3{k}^{2}}}$）
可得N（$\frac{\sqrt{\frac{3}{1+3{K}^{2}}}+\sqrt{2}}{2}$，$\frac{k•\sqrt{\frac{3}{1+3{k}^{2}}}}{2}$），M（$\frac{-\sqrt{\frac{3}{1+3{k}^{2}}}+\sqrt{2}}{2}$，$\frac{-k\sqrt{\frac{3}{1+3{k}^{2}}}}{2}$），
 只需$\overrightarrow{OM}•\overrightarrow{ON}$＜0，即$\frac{2-\frac{3}{1+3{k}^{2}}}{4}+\frac{-{k}^{2}×\frac{3}{1+3{k}^{2}}}{4}$＜0⇒k²$＜\frac{1}{3}$．

解答 解：（Ⅰ）如图，∵AB、F₁F₂互相平分，∴四边形AF₁BF₂是平行四边形
∴AF₂=BF₁，即|AF₂|+|BF₂|=|BF₁|+|BF₂|=2a=2$\sqrt{3}$．
∴a=$\sqrt{3}$，又∵$e=\frac{c}{a}=\frac{\sqrt{6}}{3}$，∴$c=\sqrt{2}$，b=1
椭圆的方程：$\frac{{x}^{2}}{3}+{y}^{2}=1$

（Ⅱ）由$\left\{\begin{array}{l}{\frac{{x}^{2}}{3}+{y}^{2}=1}\\{y=kx}\end{array}\right.$得B（$\sqrt{\frac{3}{1+3{k}^{2}}}$，k•$\sqrt{\frac{3}{1+3{k}^{2}}}$），A（-$\sqrt{\frac{3}{1+3{k}^{2}}}$．-k$•\sqrt{\frac{3}{1+3{k}^{2}}}$）
∴N（$\frac{\sqrt{\frac{3}{1+3{K}^{2}}}+\sqrt{2}}{2}$，$\frac{k•\sqrt{\frac{3}{1+3{k}^{2}}}}{2}$），M（$\frac{-\sqrt{\frac{3}{1+3{k}^{2}}}+\sqrt{2}}{2}$，$\frac{-k\sqrt{\frac{3}{1+3{k}^{2}}}}{2}$），
∵点O在以MN为直径的圆内，∴$\overrightarrow{OM}•\overrightarrow{ON}$＜0
即$\frac{2-\frac{3}{1+3{k}^{2}}}{4}+\frac{-{k}^{2}×\frac{3}{1+3{k}^{2}}}{4}$＜0⇒k²$＜\frac{1}{3}$
∴-$\frac{\sqrt{3}}{3}$＜k$＜\frac{\sqrt{3}}{3}$

点评 本题考查了椭圆的标准方程及其性质、直线与椭圆的位置关系、点在圆内转化为向量的数量积的关系，考查了推理能力和计算能力，属于中档题．