Question

9．设抛物线y=$\frac{1}{2}$x²的焦点为F，准线为l，过点F作一直线与抛物线交于A，B两点，再分别过点A，B作抛物线的切线，这两条切线的交点记为P．
（1）证明：直线PA与PB相互垂直，且点P在准线l上；
（2）是否存在常数λ，使等式$\overrightarrow{FA}$•$\overrightarrow{FB}$=λ$\overrightarrow{FP}$²恒成立？若存在，求出λ的值；若不存在，说明理由．

Answer 1

分析 （1）设A（${x}_{1}，\frac{1}{2}{{x}_{1}}^{2}$），B（${x}_{2}，\frac{1}{2}{{x}_{2}}^{2}$），利用导数求出直线PA、PB的斜率，得到PA、PB所在直线方程，联立求得P的坐标，再设直线AB的方程为：y=kx+$\frac{1}{2}$，
联立AB方程与抛物线方程，利用根与系数的关系得到x₁x₂=-1，可得k_PA•k_PB=x₁x₂=-1，${y}_{P}=-\frac{1}{2}$，说明P在准线y=-$\frac{1}{2}$上，且PA⊥PB；
（2）存在λ=-1，使等式$\overrightarrow{FA}$•$\overrightarrow{FB}$=λ$\overrightarrow{FP}$²恒成立．写出F、P的坐标，可得$\overrightarrow{FA}、\overrightarrow{FB}、\overrightarrow{FP}$的坐标，利用$\overrightarrow{FA}$•$\overrightarrow{FB}$=λ$\overrightarrow{FP}$²即可求得实数λ的值．

解答 （1）证明：设A（${x}_{1}，\frac{1}{2}{{x}_{1}}^{2}$），B（${x}_{2}，\frac{1}{2}{{x}_{2}}^{2}$），
由y=$\frac{1}{2}$x²，得y′=x，
∴k_PA=x₁，k_PB=x₂，
则直线PA：$y-\frac{1}{2}{{x}_{1}}^{2}={x}_{1}（x-{x}_{1}）$，PB：$y-\frac{1}{2}{{x}_{2}}^{2}={x}_{2}（x-{x}_{2}）$．
联立$\left\{\begin{array}{l}{y={x}_{1}x-\frac{1}{2}{{x}_{1}}^{2}}\\{y={x}_{2}x-\frac{1}{2}{{x}_{2}}^{2}}\end{array}\right.$，得$\left\{\begin{array}{l}{{x}_{P}=\frac{1}{2}（{x}_{1}+{x}_{2}）}\\{{y}_{P}=\frac{{x}_{1}{x}_{2}}{2}}\end{array}\right.$．
设直线AB的方程为：y=kx+$\frac{1}{2}$，
联立$\left\{\begin{array}{l}{y=kx+\frac{1}{2}}\\{y=\frac{1}{2}{x}^{2}}\end{array}\right.$，得$\frac{1}{2}{x}^{2}-kx-\frac{1}{2}=0$．
∴x₁x₂=-1，则k_PA•k_PB=x₁x₂=-1，
∴${y}_{P}=-\frac{1}{2}$，则P在准线y=-$\frac{1}{2}$上，且PA⊥PB；
（2）解：存在λ=-1，使等式$\overrightarrow{FA}$•$\overrightarrow{FB}$=λ$\overrightarrow{FP}$²恒成立．
∵F（0，$\frac{1}{2}$），P（$\frac{{x}_{1}+{x}_{2}}{2}，-\frac{1}{2}$），
$\overrightarrow{FA}=（{x}_{1}，\frac{1}{2}（{{x}_{1}}^{2}-1））$，$\overrightarrow{FB}=（{x}_{2}，\frac{1}{2}（{{x}_{2}}^{2}-1））$，
$λ{\overrightarrow{FP}}^{2}$=$λ（（\frac{{x}_{1}+{x}_{2}}{2}）^{2}+1）$=$λ（\frac{{{x}_{1}}^{2}+{{x}_{2}}^{2}}{4}+\frac{1}{2}）$．
$\overrightarrow{FA}•\overrightarrow{FB}={x}_{1}{x}_{2}+\frac{1}{4}（{{x}_{1}}^{2}-1）（{{x}_{2}}^{2}-1）$=$-1+\frac{1}{4}{{x}_{1}}^{2}{{x}_{2}}^{2}-\frac{1}{4}（{{x}_{1}}^{2}+{{x}_{2}}^{2}）+\frac{1}{4}$=$-\frac{1}{2}-\frac{1}{4}（{{x}_{1}}^{2}+{{x}_{2}}^{2}）$．
若$\overrightarrow{FA}$•$\overrightarrow{FB}$=λ$\overrightarrow{FP}$²，
则$λ（\frac{{{x}_{1}}^{2}+{{x}_{2}}^{2}}{4}+\frac{1}{2}）$=$-\frac{1}{2}-\frac{1}{4}（{{x}_{1}}^{2}+{{x}_{2}}^{2}）$，解得λ=-1．

点评 本题考查抛物线的简单性质，考查直线与抛物线的位置关系的应用，考查计算能力，是中档题．