Question

2．已知点P（1+cosα，sinα），参数α∈[0，2π），在以O极点，x轴的非负半轴为极轴的极坐标系中，点Q在曲线C：ρ=$\frac{9}{\sqrt{2}sin（θ+\frac{π}{4}）}$上．
（1）求点P的轨迹方程与曲线C的直角坐标方程；
（2）求点P与点Q之间距离的最小值和最大值．

Answer 1

分析 （1）消去参数，求出P点轨迹方程的普通方程即可，根据y=ρsinθ，x=ρcosθ求出曲线C的直角坐标方程即可；
（2）求出圆心的坐标，根据圆心与直线的距离求出|PM|的最值即可．

解答 解：（1）由$\left\{\begin{array}{l}{x=1+cosα}\\{y=sinα}\end{array}\right.$，α∈[0，2π），
得点P的轨迹方程（x-1）²+y²=1，
又由ρ=$\frac{9}{\sqrt{2}sin（θ+\frac{π}{4}）}$，
得ρ=$\frac{9}{sinθ+cosθ}$，
∴ρsinθ+ρcosθ=9，
∴曲线C的直角坐标方程为x+y-9=0；
（2）圆（x-1）²+y²=1的圆心（1，0），
到直线x+y-9=0的距离为：
d=$\frac{|1+0-9|}{\sqrt{1+1}}$=4$\sqrt{2}$，
又圆的半径为1，
所以|PQ|_min=4$\sqrt{2}$-1，|PQ|_max不存在．

点评 本题考查了普通方程以及极坐标方程和参数方程的转化，考查点到直线的距离，是一道中档题．