Question

16．已知函数f（x）=x²+bx+c在[-1，0]上有零点，且|f（1）|≤1，记f（x）的最小值为M，则M的取值范围为[-$\frac{25}{16}$，0]．

Answer 1

分析 利用根的判别式推导出-3≤c≤0，M=c-$\frac{{b}^{2}}{4}$≤0，由f（1）=1+b+c≥-1，得到M≥f（-$\frac{b}{2}$）=-$\frac{{b}^{2}}{4}$+c，由f（-1）=1-b+c≥0，得到b≤-$\frac{1}{2}$，从而M=-$\frac{{b}^{2}}{4}$-b-2，（-2$≤b≤-\frac{1}{2}$），当b=-$\frac{1}{2}$时，M取最小值-$\frac{25}{16}$．由此能求出M的取值范围．

解答 解：∵函数f（x）=x²+bx+c在[-1，0]上有零点，且|f（1）|≤1，记f（x）的最小值为M，
∴若△=b²-4c=0，则M=$\frac{{b}^{2}}{4}-\frac{{b}^{2}}{2}+c$，存在0＜f（1）≤1，
若△=b²-4c＞0，则$\left\{\begin{array}{l}{f（-1）≥0}\\{f（0）≤0}\\{f（1）≥-1}\end{array}\right.$，即$\left\{\begin{array}{l}{1-b+c≥0}\\{c≤0}\\{1+b+c≥-1}\end{array}\right.$，
解得-3≤c≤0，
∴M=$\frac{{b}^{2}}{4}-\frac{{b}^{2}}{2}$+c=c-$\frac{{b}^{2}}{4}$≤0，
∵-3≤c≤0，f（1）=1+b+c≥-1，
M≥f（-$\frac{b}{2}$）=-$\frac{{b}^{2}}{4}$+c，当1+b+c=-1时，取等号，
∵f（-1）=1-b+c≥0，∴b≤-$\frac{1}{2}$，
∵c=-2-b≤0，b≥-2，
∴M=-$\frac{{b}^{2}}{4}$-b-2，（-2$≤b≤-\frac{1}{2}$），
当b=-$\frac{1}{2}$时，M取最小值-$\frac{25}{16}$．
∴M的取值范围为[-$\frac{25}{16}$，0]．
故答案为：[-$\frac{25}{16}$，0]．

点评 本题考查函数的最小值的取值范围的求法，考查二次函数、零点、函数最值、根的差别式等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力，考查化归与转化思想、函数与方程思想，是中档题．