Question

6．已知函数f（x）=$\frac{m•{4}^{x}+1}{{2}^{x}}$-m（m∈R）．
（1）若函数f（x）有零点，求实数m的取值范围；
（2）若对任意的x∈[-1，0]都有f（x）≥0成立，求实数m的取值范围．

Answer 1

分析 （1）把函数f（x）有零点转化为关于x的方程m•4^x-m•2^x+1=0（m∈R）有解，令t=2^x（t＞0），于是有关于t的方程mt²-mt+1=0有正根．然后根据二次函数g（t）=mt²-mt+1的图象恒过点（0，1），对称轴为t=$\frac{1}{2}$，对m分类求解；
（2）对任意的x∈[-1，0]都有f（x）≥0成立，即$\frac{m•{4}^{x}+1}{{2}^{x}}-m≥0$，x∈[-1，0]，即m（4^x-2^x）+1≥0，当x∈[-1，0]时，恒有4^x≤2^x，$\frac{1}{2}≤{2}^{x}≤1$，可得当m≤0时，m（4^x-2^x）+1≥0恒成立；当m＞0时，$m（{4}^{x}-{2}^{x}）+1=m（{2}^{x}-\frac{1}{2}）+1-\frac{m}{4}≥1-\frac{m}{4}$，可得1-$\frac{m}{4}≥0$，从而求得m的取值范围．

解答 解：（1）由函数f（x）有零点得，关于x的方程m•4^x-m•2^x+1=0（m∈R）有解，
令t=2^x（t＞0），于是有关于t的方程mt²-mt+1=0有正根．
设g（t）=mt²-mt+1，则函数g（t）的图象恒过点（0，1），且对称轴为t=$\frac{1}{2}$．
当m＜0时，g（t）的图象开口向下，故g（t）=0恰有一正数解；
当m=0时，g（t）=1≠0，不合题意；
当m＞0时，g（t）的图象开口向上，故g（t）=0有正数解的条件是g（$\frac{1}{2}$）=$1-\frac{m}{4}≤0$，
解得m≥4．
综上可知，实数m的取值范围为（-∞，0）∪[4，+∞）；
（2）对任意的x∈[-1，0]都有f（x）≥0成立，
即$\frac{m•{4}^{x}+1}{{2}^{x}}-m≥0$，x∈[-1，0]．
∵2^x＞0，故m（4^x-2^x）+1≥0，
又当x∈[-1，0]时，恒有4^x≤2^x，$\frac{1}{2}≤{2}^{x}≤1$，
故当m≤0时，m（4^x-2^x）+1≥0恒成立；
当m＞0时，$m（{4}^{x}-{2}^{x}）+1=m（{2}^{x}-\frac{1}{2}）+1-\frac{m}{4}≥1-\frac{m}{4}$．
当且仅当x=-1时取等号．
∴1-$\frac{m}{4}≥0$，得0＜m≤4．
综上可知，实数m的取值范围为（-∞，4]．

点评 本题考查恒成立问题，考查指数函数、二次函数得图象和性质，函数的零点及不等式的应用，分类与整合思想、化归与转化思想，可推理论证能力与运算求解能力，属难题．