Question

1．已知函数f（x）=sinx-cosx
（1）若f（x）=3f（-x），求$\frac{co{s}^{2}x+sinxcosx}{1+si{n}^{2}x}$的值；
（2）求函数F（x）=f（x）•f（-x）+f²（-x）的最小值和单调增区间．

Answer 1

分析 （1）根据f（x）=3f（-x），求得tanx的值，再利用同角三角函数的基本关系求得$\frac{co{s}^{2}x+sinxcosx}{1+si{n}^{2}x}$的值．
（2）先利用三角恒等变化化简函数F（x）=f（x）•f（-x）+f²（-x）的解析式，利用正弦函数的值域求得它的最小值，利用正弦函数的单调性求得它的单调增区间．

解答 解：（1）∵函数f（x）=sinx-cosx，若f（x）=3f（-x），
则sinx-cosx=3（-sinx-cosx ），∴4sinx=-2cosx，tanx=-$\frac{1}{2}$．
∴$\frac{co{s}^{2}x+sinxcosx}{1+si{n}^{2}x}$=$\frac{{cos}^{2}x+sinxcosx}{{2sin}^{2}x{+cos}^{2}x}$=$\frac{1+tanx}{{2tan}^{2}x+1}$=$\frac{1}{3}$．
（2）求函数F（x）=f（x）•f（-x）+f²（-x）
=（sinx-cosx）•（-sinx-cosx）+（-sinx-cosx）²=cos²x-sin²x+1-2sinxcosx
=cos2x-sin2x+1=$\sqrt{2}$sin（2x+$\frac{π}{4}$）+1，
故该函数的最小值为-$\sqrt{2}$+1．
令2kπ-$\frac{π}{2}$≤2x+$\frac{π}{4}$≤2kπ+$\frac{π}{2}$，求得kπ-$\frac{3π}{8}$≤x≤kπ+$\frac{π}{8}$，
可得函数的单调增区间为[kπ-$\frac{3π}{8}$，kπ+$\frac{π}{8}$]，k∈Z．

点评 本题主要考查同角三角函数的基本关系，三角恒等变换、正弦函数的值域及它的单调性，属于基础题．