Question

10．已知函数f（x）=|2x-a|+|2x-4|，g（x）=|x-2|+1．
（1）a=0时，解不等式f（x）≥8；
（2）若对任意x₁∈R，存在x₂∈R，使得f（x₁）=g（x₂）成立，求实数a的取值范围．

Answer 1

分析 （1）a=0时，把原不等式去掉绝对值，转化为与之等价的三个不等式组，分别求得每个不等式组的解集，再取并集，即得所求．
（2）由题意可得函数f（x）的值域是g（x）的值域的子集，求得g（x）的值域为[1，+∞），利用绝对值三角不等式求得f（x）的最小值为|a-4|，|根据a-4|≥1，求得a的范围．

解答 解：（1）a=0时，不等式f（x）≥8，即|2x|+|2x-4|≥8，
等价于$\left\{\begin{array}{l}{x＜0}\\{-2x+4-2x≥8}\end{array}\right.$①，或 $\left\{\begin{array}{l}{0≤x≤2}\\{2x+4-2x≥8}\end{array}\right.$②，或$\left\{\begin{array}{l}{x＞2}\\{2x+2x-4≥8}\end{array}\right.$③．
解①求得 x≤-1，解②求得x∈∅，解③求得x≥3．
故不等式的解集为{x|x≤-1，或 x≥3}．
（2）若对任意x₁∈R，存在x₂∈R，使得f（x₁）=g（x₂）成立，
则函数f（x）的值域是g（x）的值域的子集．
由于g（x）=|x-2|+1的值域为[1，+∞），
f（x）=|2x-a|+|2x-4|≥|2x-a-（2x-4）|=|a-4|，∴|a-4|≥1，∴a-4≥1，或 a-4≤-1，
求得a≥5，或a≤3，
故实数a的取值范围为{a|a≥5，或a≤3}．

点评 本题主要考查绝对值不等式的解法，函数的恒成立问题，绝对值三角不等式的应用，属于中档题．