Question

19．已知点A（1，0），B（0，-1），P是曲线y=$\sqrt{1{-x}^{2}}$上的一个动点，则$\overrightarrow{AP}$•$\overrightarrow{BP}$的最大值是1$+\sqrt{2}$．

Answer 1

分析 设P（cosα，sinα），α∈[0，π]，则 $\overrightarrow{BA}$=（1，1），$\overrightarrow{BP}$=（cosα，sinα+1），$\overrightarrow{AP}$=（cosα-1，sinα），由此能求出$\overrightarrow{AP}$•$\overrightarrow{BP}$的取值范围．

解答 解：∵在平面直角坐标系中，A（1，0），B（0，-1），
P是曲线y=$\sqrt{1{-x}^{2}}$上一个动点，
∴设P（cosα，sinα），α∈[0，π]，
∴$\overrightarrow{BA}$=（1，1），$\overrightarrow{BP}$=（cosα，sinα+1），$\overrightarrow{AP}$=（cosα-1，sinα），
$\overrightarrow{BP}$•$\overrightarrow{AP}$=-cosα+sinα+1=1+$\sqrt{2}$sin（$α-\frac{π}{4}$），
则$\overrightarrow{AP}$•$\overrightarrow{BP}$的最大值是：1+$\sqrt{2}$．
故答案为：1+$\sqrt{2}$．

点评 本题考查向量的数量积的取值范围的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意平面向量数量积的性质的合理运用．