Question

9．下表提供了某厂生产某产品过程中记录的产量x（吨）与相应的生产能耗y（吨标准煤）的几组对照数据，

x	2	4	6	8	10
y	4	5	7	9	10

（1）请根据上表提供的数据，用最小二乘法求出y关于x的线性回归方程$\widehat{y}$=$\widehat{b}$x+$\widehat{a}$，
（2）根据（1）中求出的线性回归方程，预测生产20吨该产品的生产能耗是多少吨标准煤？
附：回归直线的斜率和截距的最小二乘估计分别为：$\widehat{b}$=$\frac{\sum_{i=1}^{n}（{x}_{i}-\overline{x}）（{y}_{i}-\overline{y}）}{\sum_{i=1}^{n}（{x}_{i}-\overline{x}）^{2}}$，$\widehat{a}$=$\overline{y}$-$\widehat{b}$$\overline{x}$．

Answer 1

分析 （1）根据表中提供的数据，计算$\overline{x}$、$\overline{y}$，
求出回归系数，写出线性回归方程；
（2）利用线性回归方程计算x=20时$\widehat{y}$的值即可．

解答 解：（1）根据表中提供的数据，
计算$\overline{x}$=$\frac{1}{5}$×（2+4+6+8+10）=6，
$\overline{y}$=$\frac{1}{5}$×（4+5+7+9+10）=7，
且$\sum_{i=1}^{5}$（x_i-$\overline{x}$）（y_i-$\overline{y}$）=（-4）×（-3）+（-2）×（-1）+0×0+2×2+4×3=30，
$\sum_{i=1}^{5}$${{（x}_{i}-\overline{x}）}^{2}$=（-4）²+（-2）²+0²+2²+4²=40，
∴$\widehat{b}$=$\frac{\sum_{i=1}^{n}（{x}_{i}-\overline{x}）（{y}_{i}-\overline{y}）}{\sum_{i=1}^{n}（{x}_{i}-\overline{x}）^{2}}$=$\frac{30}{40}$=0.75，
$\widehat{a}$=$\overline{y}$-$\widehat{b}$$\overline{x}$=7-0.75×6=2.5，
∴y关于x的线性回归方程为$\widehat{y}$=0.75x+2.5，
（2）根据（1）中求出的线性回归方程，
计算x=20时，$\widehat{y}$=0.75×20+2.5=17.5，
∴预测生产20吨该产品的生产能耗是17.5吨标准煤．

点评 本题考查了线性回归方程的求法与应用问题，是基础题．