Question

4．若至少存在一个x，使得方程lnx-mx=x（x²-2ex）成立，则实数m的取值范围为（-∞，$\frac{1}{e}+{e}^{2}$]．

Answer 1

分析 求出m=$\frac{lnx}{x}-{x}^{2}+2ex$，且x＞0，设f（x）=$\frac{lnx}{x}-{x}^{2}+2ex$，则m的取值范围即f（x）的值域，对f（x）求导得${f}^{'}（x）=\frac{1-lnx}{{x}^{2}}+2e-2x$，利用导数性质能求出实数m的取值范围．

解答 解：∵lnx-mx=x（x²-2ex），
∴m=$\frac{lnx}{x}-{x}^{2}+2ex$，且x＞0，
设f（x）=$\frac{lnx}{x}-{x}^{2}+2ex$，
则m的取值范围即f（x）的值域，
对f（x）求导得${f}^{'}（x）=\frac{1-lnx}{{x}^{2}}+2e-2x$，
当x∈（0，e）时，f′（x）＞0，当x∈（e，+∞）时，f′（x）＜0．
∴当e=0时，f′（x）=0，f（x）取最大值f（e）=$\frac{lne}{e}-{e}^{2}+2{e}^{2}$=$\frac{1}{{e}^{\;}}+{e}^{2}$．
$\underset{lim}{x→0}$f（x）=-∞．
∴实数m的取值范围为（-∞，$\frac{1}{e}+{e}^{2}$]．
故答案为：（-∞，$\frac{1}{e}+{e}^{2}$]．

点评 本题考查实数的取值范围的求法，考查构造法、导数性质、函数最值等等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力，考查化归与转化思想、函数与方程思想，是中档题．