Question

19．如图，已知AB是半圆O的直径，AB=4，C、D是半圆上的两个三等分点．
（1）求$\overrightarrow{AO}•\overrightarrow{OD}$和|$\overrightarrow{AO}+\overrightarrow{OC}$|；
（2）在半圆内任取一点P，求△ABP的面积大于2$\sqrt{3}$的概率．

Answer 1

分析 （1）由已知求出$\overrightarrow{AO}$与$\overrightarrow{OD}$的夹角为120°，$\overrightarrow{AO}$和$\overrightarrow{OC}$的夹角为60°．然后利用数量积公式求$\overrightarrow{AO}•\overrightarrow{OD}$，再由$|\overrightarrow{AO}+\overrightarrow{OC}{|}^{2}=（\overrightarrow{AO}+\overrightarrow{OC}）^{2}$展开求|$\overrightarrow{AO}+\overrightarrow{OC}$|；
（2）由△ABP的面积大于2$\sqrt{3}$可知P在CD弦上方的弓形内，由面积比求得△ABP的面积大于2$\sqrt{3}$的概率．

解答 解：（1）∵C、D是圆上的两个三等分点，∴∠AOD=60°，
∴$\overrightarrow{AO}$与$\overrightarrow{OD}$的夹角为120°，$\overrightarrow{AO}$和$\overrightarrow{OC}$的夹角为60°．
∴$\overrightarrow{AO}•\overrightarrow{OD}=|\overrightarrow{AO}||\overrightarrow{OD}|cos120°=2×2×cos120°$=-2．
$|\overrightarrow{AO}+\overrightarrow{OC}|=\sqrt{（\overrightarrow{AO}+\overrightarrow{OC}）^{2}}=\sqrt{{\overrightarrow{AO}}^{2}+{\overrightarrow{OC}}^{2}+2\overrightarrow{AO}•\overrightarrow{OC}}$
=$\sqrt{4+4+2×2×2×cos60°}=2\sqrt{3}$；
（2）设P到AB的距离为d，则${S}_{△ABP}=\frac{1}{2}×AB×d$$＞2\sqrt{3}$，∴d$＞\sqrt{3}$．
连接CD，∵弦CD与直径AB的距离为$\sqrt{3}$，则P在CD弦上方的弓形内．
记“△ABP的面积大于2$\sqrt{3}$”为事件M，则
P（M）=$\frac{{S}_{扇形DOC}-{S}_{△DOC}}{{S}_{半圆}}$=$\frac{\frac{1}{2}×\frac{π}{3}×{2}^{2}-\frac{1}{2}×{2}^{2}×sin60°}{\frac{1}{2}×π×{2}^{2}}$=$\frac{\frac{2π}{3}-\sqrt{3}}{2π}$=$\frac{1}{3}-\frac{\sqrt{3}}{2π}$．

点评 本题考查平面向量的数量积运算，考查几何概型概率的求法，是中档题．