Question

12．学校组织学生参加某项比赛，参赛选手必须有很好的语言表达能力和文字组织能力．学校对10位已入围的学生进行语言表达能力和文字组织能力的测试，测试成绩分为A，B，C三个等级，其统计结果如表：

语言表达能力 文字组织能力	A	B	C
A	2	2	0
B	1	a	1
C	0	1	b

由于部分数据丢失，只知道从这10位参加测试的学生中随机抽取一位，抽到语言表达能力或文字组织能力为C的学生的概率为$\frac{3}{10}$．
（ I）求a，b的值；
（ II）从测试成绩均为A或 B的学生中任意抽取2位，求其中至少有一位语言表达能力或文字组织能力为A的学生的概率．

Answer 1

分析 （I）依题意可知：语言表达能力或文字组织能力为C的学生共有（b+2）人，由此利用等可能事件概率计算公式列出方程能求出b，进而能求出a．
（II）测试成绩均为A或 B的学生共有7人，其中语言表达能力和文字组织能力均为B的有2人，设为b₁，b₂，其余5人设为a₁，a₂，a₃，a₄，a₅．利用列举法能求出至少有一位语言表达能力或文字组织能力为A的学生的概率．

解答 （本小题满分13分）
解：（I）依题意可知：语言表达能力或文字组织能力为C的学生共有（b+2）人．
∵从这10位参加测试的学生中随机抽取一位，
抽到语言表达能力或文字组织能力为C的学生的概率为$\frac{3}{10}$．
∴$\frac{b+2}{10}=\frac{3}{10}$．
解得b=1，
a=10-2-2-1-1-1-1=2．…（5分）
（II）测试成绩均为A或 B的学生共有7人，
其中语言表达能力和文字组织能力均为B的有2人，设为b₁，b₂，
其余5人设为a₁，a₂，a₃，a₄，a₅．
则基本事件空间Ω={（a₁，a₂），（a₁，a₃），（a₁，a₄），（a₁，a₅），（a₁，b₁），（a₁，b₂），（a₂，a₃），
（a₂，a₄），（a₂，a₅），（a₂，b₁），（a₂，b₂），（a₃，a₄），（a₃，a₅），（a₃，b₁），（a₃，b₂），（a₄，a₅），
（a₄，b₁），（a₄，b₂），（a₅，b₁），（a₅，b₂），（b₁，b₂）}．
所以基本事件空间总数n=21．
选出的2人语言表达能力和文字组织能力均为B的有{（b₁，b₂）}．
所以至少有一位语言表达能力或文字组织能力为A的学生的概率为$P=1-\frac{1}{21}=\frac{20}{21}$．…（13分）

点评 本题考查实数值的求法，考查概率的求法，考查等可能事件概率计算公式、对立事件概率计算公式、列举法等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力，考查化归与转化思想、函数与方程思想，是基础题．