Question

18．已知函数φ（x）=sinx-kx（k∈R）．
（I）若函数φ（x）在x=0处的切线与y轴垂直，求实数k的值；
（Ⅱ）若函数φ（x）在R内单调，求实数k的取值范围；
（Ⅲ）当k=$\frac{1}{2}$时，求函数y=φ（2x）在x∈[-$\frac{π}{2}$，$\frac{π}{2}$]上的单调区间．

Answer 1

分析 （Ⅰ）求出函数的导数，计算φ′（0）=0，求出k的值即可；
（Ⅱ）求出函数的导数，通过讨论函数递增或递减，得到关于导函数的不等式，求出k的范围即可；
（Ⅲ）求出y=φ（2x）的解析式，求出函数的导数，解关于导函数的不等式，求出函数的单调区间即可．

解答 解：（Ⅰ）φ′（x）=cosx-k，
则φ′（0）=1-k，
若函数φ（x）在x=0处的切线与y轴垂直，
则1-k=0，解得：k=1；
（Ⅱ）φ′（x）=cosx-k，cosx∈[-1，1]，
由φ′（x）≥0，得k≤cosx，故k≤-1，
由φ′（x）≤0，得k≥cosx，故k≥1，
故函数φ（x）在R内递增时，k≤-1，
函数φ（x）在R内递减时，k≥1；
（Ⅲ）k=$\frac{1}{2}$时，φ（x）=sinx-$\frac{1}{2}$x，
故y=φ（2x）=sin2x-x，
φ′（2x）=2cos2x-1，
令φ′（2x）＞0，解得：-$\frac{π}{6}$＜x＜$\frac{π}{6}$，
令φ′（2x）＜0，解得：-$\frac{π}{2}$＜x＜-$\frac{π}{6}$或$\frac{π}{6}$＜x＜$\frac{π}{2}$，
故y=φ′（2x）在[-$\frac{π}{2}$，-$\frac{π}{6}$）递减，在（-$\frac{π}{6}$，$\frac{π}{6}$）递增，在（$\frac{π}{6}$，$\frac{π}{2}$）递减．

点评 本题考查了函数的单调性，导数的应用以及转化思想，是一道中档题．