Question

3．已知直线l₁：$\sqrt{3}$x+$\sqrt{10}$y-4=0为曲线C₁：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞b＞0）的一条切线，直线l₂：x-2y-4=0为曲线C₂：$\frac{{x}^{2}}{4{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{2{b}^{2}}$=1的一条切线．求曲线C₁，C₂的方程．

Answer 1

分析 利用直线与椭圆相切，联立方程组，通过判别式为0，得到a，b的方程，求解即可．

解答 解：直线l₁：$\sqrt{3}$x+$\sqrt{10}$y-4=0为曲线C₁：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞b＞0）的一条切线，
可得：$\left\{\begin{array}{l}{\sqrt{3}x+\sqrt{10}y-4=0}\\{\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}+\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}=1}\end{array}\right.$，
消去x化简可得：（3a²+10b²）y²-8$\sqrt{10}$b²y+16b²-3a²b²=0，
可得：△=$（-8\sqrt{10}{b}^{2}）^{2}-4（3{a}^{2}+10{b}^{2}）（16{b}^{2}-3{a}^{2}{b}^{2}）=0$，
化简可得3a²+10b²=16，…①；
直线l₂：x-2y-4=0为曲线C₂：$\frac{{x}^{2}}{4{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{2{b}^{2}}$=1的一条切线．
联立方程组消去x化简可得：（2b²+a²）y²+8b²y+8b²-2a²b²=0，
△=（8b²）²-4（2b²+a²）（8b²-2a²b²）=0，
化简可得：a²+2b²=4，…②，
解：①②可得：a²=2，b²=1，
曲线C₁，C₂的方程分别为：$\frac{{x}^{2}}{2}+{y}^{2}=1$；$\frac{{x}^{2}}{8}+\frac{{y}^{2}}{2}=1$．

点评 本题考查直线与椭圆的位置关系的应用，考查计算能力．