Question

3．已知a，b，c分别为△ABC的内角A，B，C的对边，若关于x的不等式x²-ax+1≤0有且只有一个解，且$（a+b）（sinA-sinB）=（sinC-\sqrt{3}sinB）c$，则△ABC面积的最大值为2+$\sqrt{3}$．

Answer 1

分析 由条件可求a，利用正弦定理可得b²+c²-$\sqrt{3}$bc=a²，利用余弦定理可求A，再利用基本不等式可得bc≤8+4$\sqrt{3}$，当且仅当b=c时取等号，从而求得它的面积的最大值．

解答 解：∵关于x的不等式x²-ax+1≤0有且只有一个解，
∴△=a²-4=0，
∴a=2或a=-2（舍去），
∵△ABC中，（a+b）（sinA-sinB）=（sinC-$\sqrt{3}$sinB）c，
∴利用正弦定理可得（a+b）（a-b）=（c-$\sqrt{3}$b）c，即 b²+c²-$\sqrt{3}$bc=a²．
∴由余弦定理可得cosA=$\frac{{b}^{2}+{c}^{2}-{a}^{2}}{2bc}$=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，由A∈（0，π），可得A=$\frac{π}{6}$，
∴再利用基本不等式可得 a²≥2bc-$\sqrt{3}$bc，则（2-$\sqrt{3}$）bc≤4，当且仅当b=c时，取等号，
解得：bc≤8+4$\sqrt{3}$，
∴S_△ABC=$\frac{1}{2}$bcsinA≤$\frac{1}{2}×$（8+4$\sqrt{3}$）×$\frac{1}{2}$=2+$\sqrt{3}$，即△ABC面积的最大值为2+$\sqrt{3}$．
故答案为：2+$\sqrt{3}$．

点评 本题主要考查正弦定理，余弦定理在解三角形中的应用，考查基本不等式的运用，属于中档题．