Question

14．已知三棱锥S-ABC的三条侧棱两两垂直且SA=SB=SC=1，则该三棱锥的外接球的体积为$\frac{\sqrt{3}}{2}π$．

Answer 1

分析 三棱锥扩展为四棱柱（长方体），两个几何体的外接球是同一个球，求出四棱锥的对角线的长度就是外接球的直径，即可求解半径．

解答 解：三棱锥S-ABC的三条侧棱两两垂直，且SA=SB=SC=1，则该三棱锥的外接球，
就是三棱锥扩展为长方体的外接球，所以长方体的对角线的长度为：$\sqrt{{1}^{2}+{1}^{2}+{1}^{2}}=\sqrt{3}$，
所以该三棱锥的外接球的半径r=$\frac{\sqrt{3}}{2}$．三棱锥的外接球的体积为$\frac{4}{3}π{r}^{3}$=$\frac{\sqrt{3}}{2}π$
故答案为：$\frac{\sqrt{3}}{2}π$．

点评 本题考查球内接多面体，棱锥的结构特征，球的半径的求法，考查空间想象能力、计算能力，属于中档题．