Question

16．函数f（x）=Asin（ωx+α）（A＞0，ω＞0，-$\frac{π}{2}$＜α＜$\frac{π}{2}$）的最小正周期是π，且当x=$\frac{π}{6}$时f（x）取得最大值3．
（1）求f（x）的解析式及单调增区间；
（2）若x₀∈（0，2π]，且f（x₀）=$\frac{3}{2}$，求x₀．

Answer 1

分析 （1）根据函数f（x）的最小正周期求出ω的值，
根据x=$\frac{π}{6}$时f（x）取得最大值求出A、α的值，
写出f（x）的解析式，再求f（x）的单调增区间；
（2）由x₀∈（0，2π]求出2x₀+$\frac{π}{6}$的取值范围，
再根据f（x₀）=$\frac{3}{2}$求出x₀的值．

解答 解：（1）函数f（x）=Asin（ωx+α）的最小正周期是T=$\frac{2π}{ω}$=π，∴ω=2；
又当x=$\frac{π}{6}$时f（x）取得最大值3，∴A=3；
令2×$\frac{π}{6}$+α=$\frac{π}{2}$+2kπ，∴α=$\frac{π}{6}$+2kπ，k∈Z；
又-$\frac{π}{2}$＜α＜$\frac{π}{2}$，∴α=$\frac{π}{6}$，
∴f（x）=3sin（2x+$\frac{π}{6}$）；
令-$\frac{π}{2}$+2kπ≤2x+$\frac{π}{6}$≤$\frac{π}{2}$+2kπ，k∈Z，
∴-$\frac{π}{3}$+kπ≤x≤$\frac{π}{6}$+kπ，k∈Z；
∴f（x）的单调增区间是[-$\frac{π}{3}$+kπ，$\frac{π}{6}$+kπ]，（k∈Z）；
（2）x₀∈（0，2π]时，2x₀∈（0，4π]，2x₀+$\frac{π}{6}$∈（$\frac{π}{6}$，$\frac{25π}{4}$]；
又f（x₀）=3sin（2x₀+$\frac{π}{6}$）=$\frac{3}{2}$，
∴sin（2x₀+$\frac{π}{6}$）=$\frac{1}{2}$，
∴2x₀+$\frac{π}{6}$=$\frac{5π}{6}$，或$\frac{13π}{6}$，或$\frac{17π}{6}$，或$\frac{25π}{6}$；
解得x₀=$\frac{π}{3}$，或π，或$\frac{4π}{3}$，或2π．

点评 本题考查了三角函数的图象与性质的应用问题，也考查了三角函数方程的问题，是中档题．