Question

20．正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，M，N分别是棱BC，CC₁上不与正方体顶点重合的动点，用平面AMN截正方体，下列关于截面的说法正确的有①②．
①若BM=C₁N，则截面为等腰梯形
②若BM=CM，且$CN＞\frac{1}{2}C{C_1}$时，截面为五边形
③截面的面积存在最大值
④截面的面积存在最小值．

Answer 1

分析 画出正方体，根据动点M，N的不同位置动点不同 的截面；M，N分别是棱BC，CC₁上不与正方体顶点重合的动点，考虑极限位置时 的截面形状以及面积极限判断．

解答 解：对于①，如图1，若BM=C₁N，
则MN∥AD₁，D₁N=AM，截面AMND₁为等腰梯形，故①正确；
对于②，如图2，若BM=CM，且$CN＞\frac{1}{2}C{C_1}$时，
设截面与棱C₁D₁的交点为R，
延长DD₁，使DD₁∩NR=N₁，连接AN₁交A₁D₁于S，连接SR，
可证AN∥PQ，由△NRD₁∽△QRC₁，
可得C₁R：D₁R=C₁N：D₁N₁，截面为五边形故②正确；
对于③，当BM=C₁N→0时，过点A，M，N的截面→矩形，其面积接近最大，
∵M，N分别是棱BC，CC₁上不与正方体顶点重合的动点，
∴BM=C₁N≠0，∴截面的面积不存在最大值，故③错误；
对于④，当BM→BC时CN→0时，截面→等边三角形，边长为→$\sqrt{2}$，面积→$\frac{\sqrt{3}}{2}$，又M，N分别是棱BC，CC₁上不与正方体顶点重合的动点，所以截面面积不存在最小值；故④错误；
故答案为：①②

点评 本题考查了正方体中线线关系以及截面形状问题；关键是考查空间想象能力；属于中档题．