已知直线l的参数方程为$\left\{\begin{array}{l}x=t\\ y=m+t\end{array}\right.$.以坐标原点为极点.x轴的正半轴为极轴建立极坐标系.曲线C的极坐标方程为3ρ2cos2θ+ρ2sin2θ=12.且曲线C的下焦点F在直线l上．(1)若直线l与曲线C交于A.B两点.求|FA|•|FB|的值,(2)求曲线C的内接矩形的� 题目和参考答案——青夏教育精英家教网—

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4．已知直线l的参数方程为$\left\{\begin{array}{l}x=t\\ y=m+t\end{array}\right.$（t为参数），以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为3ρ²cos²θ+ρ²sin²θ=12，且曲线C的下焦点F在直线l上．
（1）若直线l与曲线C交于A，B两点，求|FA|•|FB|的值；
（2）求曲线C的内接矩形的周长的最大值．

分析（1）点F的直角坐标为（0，-2$\sqrt{2}$），求出曲线C的直角坐标方程为3x²+y²=12，求出F的坐标，从而求出m的值，将直线l的标准参数方程代入曲线C的直角坐标方程中，得t′²-2t′-2=0，由此能求出|FA|•|FB|．
（2）设椭圆C的内接矩形在第一象限的顶点为（2cosθ，2$\sqrt{3}$sinθ），由对称性可得椭圆C的内接矩形的周长为8cosθ+8$\sqrt{3}$sinθ=16sin（θ+$\frac{π}{6}$），由此能求出椭圆C的内接矩形的周长的最大值．

解答解：（1）曲线C的极坐标方程为3ρ²cos²θ+ρ²sin²θ=12，
∴直角坐标方程为3x²+y²=12，即$\frac{{x}^{2}}{4}$+$\frac{{y}^{2}}{12}$=1，
∴F（0，-2$\sqrt{2}$），
由题意得$\left\{\begin{array}{l}{0=t}\\{-2\sqrt{2}=m+t}\end{array}\right.$，解得m=-2$\sqrt{2}$，
∵将直线l的标准参数方程$\left\{\begin{array}{l}{x=\frac{\sqrt{2}}{2}t′}\\{y=-2\sqrt{2}+\frac{\sqrt{2}}{2}t′}\end{array}\right.$（t′为参数）代入曲线C的直角坐标方程中，
得t′²-2t′-2=0，∴t′_A•t′_B=-2
∴|FA|•|FB|=2．
（2）设椭圆C的内接矩形在第一象限的顶点为（2cosθ，2$\sqrt{3}$sinθ），
由对称性可得椭圆C的内接矩形的周长为8cosθ+8$\sqrt{3}$sinθ=16sin（θ+$\frac{π}{6}$），
∴当θ+$\frac{π}{6}$=$\frac{π}{2}$，即θ=$\frac{π}{3}$时，椭圆C的内接矩形的周长取得最大值16．

点评本题考查两线段乘积的求法，考查椭圆的内接知识的周长的最大值的求法，考查极坐标方程、直角坐标方程、参数方程的互化等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力，考查化归与转化思想、函数与方程思想，是中档题．

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A．

（-∞，2]

B．

（0，$\frac{1}{2}$]

C．

[$\frac{1}{2}，2$]

D．

（0，2]

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A．

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B．

4$+\frac{2π}{3}$

C．

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D．

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A．

B．

C．

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16．