Question

15．已知函数f（x）是定义域R上的偶函数，且在区间[0，+∞）单调递增，若实数a满足f（log₂a）+f（log₂$\frac{1}{a}$）≤2f（1），则a的取值范围是（　　）

• A． （-∞，2]
• B． （0，$\frac{1}{2}$]
• C． [$\frac{1}{2}，2$]
• D． （0，2]

Answer 1

分析 根据函数奇偶性和单调性的关系将不等式进行转化求解即可．

解答 解：∵函数f（x）是定义域R在上的偶函数，
∴由f（log₂a）+f（log₂$\frac{1}{a}$）≤2f（1），得f（log₂a）+f（-log₂a）≤2f（1），
即f（log₂a）+f（log₂a）=2f（log₂a）≤2f（1），
则f（log₂a）≤f（1），
∵在区间[0，+∞）单调递增，
∴不等式等价为f（|log₂a|）≤f（1），
即|log₂a|≤1，则-1≤log₂a≤1，
得$\frac{1}{2}$≤a≤2，
故选：C

点评 本题主要考查不等式的求解，根据函数奇偶性和单调性的关系将不等式进行转化是解决本题的关键．