Question

5．设点A（0，1），B（2，-1），点C在双曲线M：$\frac{{x}^{2}}{4}$-y²=1上，则使△ABC的面积为3的点C的个数为（　　）

• A． 4
• B． 3
• C． 2
• D． 1

Answer 1

分析 求出AB的长度和直线方程，结合三角形的面积求出点C到直线的距离，作出直线AB的平行直线，利用平行直线之间的距离公式与三角形的高进行比较即可得到结论．

解答 解：AB的长度|AB|=$\sqrt{（0-2）^{2}+（-1-1）^{2}}$=$\sqrt{4+4}$=2$\sqrt{2}$，
设C到AB的距离为d，则由S=$\frac{1}{2}×2\sqrt{2}$d=3，得d=$\frac{3}{\sqrt{2}}$=$\frac{3\sqrt{2}}{2}$，
AB的直线方程和为y=kx+1，
则由-1=2k+1得2k=-2，得k=-1，
即AB的方程为：y=-x+1，
即x+y-1=0，
设与直线x+y-1=0平行的直线为x+y+c=0，
得y=-x-c代入双曲线M：$\frac{{x}^{2}}{4}$-y²=1得3x²+8cx+4+4c²=0，
当直线和双曲线相切时，
判别式△=64c²-12（4+4c²）=0，
即c²=3，得c=±$\sqrt{3}$，
即相切的直线方程为x+y+$\sqrt{3}$=0或x+y-$\sqrt{3}$=0，
直线x+y+$\sqrt{3}$=0和x+y-1=0的距离d=$\frac{|-1-\sqrt{3}|}{\sqrt{2}}$=$\frac{\sqrt{2}+\sqrt{6}}{2}$＜$\frac{3\sqrt{2}}{2}$，则此时△ABC的面积为3的点C有两个，
直线x+y-$\sqrt{3}$=0和x+y-1=0的距离d=$\frac{|\sqrt{3}-1|}{\sqrt{2}}$=$\frac{\sqrt{6}-\sqrt{2}}{2}$＜$\frac{3\sqrt{2}}{2}$，则此时△ABC的面积为3的点C有两个，
综上△ABC的面积为3的点C有4个，
故选：A

点评 本题主要考查直线和双曲线位置关系的应用，根据平移切线法结合平行直线的距离公式是解决本题的关键．