Question

17．平面直角坐标系xOy中，抛物线y²=2x的焦点为F，设M是抛物线上的动点，则$\frac{{|{MO}|}}{{|{MF}|}}$的最大值是$\frac{2\sqrt{3}}{3}$，此时|MF|=$\frac{13}{12}$．

Answer 1

分析 设M（m，n）到抛物线y²=2x的准线x=-$\frac{1}{2}$的距离等于d，由抛物线的定义可得$\frac{|MO|}{|MF|}$=$\frac{|MO|}{d}$，化简为$\sqrt{1+\frac{m-\frac{1}{4}}{{m}^{2}+m+\frac{1}{4}}}$，令m-$\frac{1}{4}$=t，利用基本不等式可求得最大值，结合抛物线的定义即可求|MF|的值．

解答 解：焦点F（$\frac{1}{2}$，0），设M（m，n），则n²=2m，m＞0，设M到准线x=-$\frac{1}{2}$的距离等于d，
则由抛物线的定义得$\frac{|MO|}{|MF|}$=$\frac{|MO|}{d}$=$\frac{\sqrt{{m}^{2}{+n}^{2}}}{m+\frac{1}{2}}$=$\sqrt{\frac{{m}^{2}+2m}{{m}^{2}+m+\frac{1}{4}}}$=$\sqrt{1+\frac{m-\frac{1}{4}}{{m}^{2}+m+\frac{1}{4}}}$，
令m-$\frac{1}{4}$=t，
依题意知，m＞0，
若t＞0，
则$\frac{m-\frac{1}{4}}{{m}^{2}+m+\frac{1}{4}}$=$\frac{t}{{t}^{2}+\frac{3}{2}t+\frac{9}{16}}$=$\frac{1}{t+\frac{\frac{9}{16}}{t}+\frac{3}{2}}$≤$\frac{1}{2×\frac{3}{4}+\frac{3}{2}}$=$\frac{1}{3}$，
∴t_max=$\frac{1}{3}$，此时${（\frac{|MO|}{d}）}_{max}$=$\sqrt{1+\frac{1}{3}}$=$\frac{2\sqrt{3}}{3}$；
若-$\frac{1}{4}$＜t＜0，y=t+$\frac{\frac{9}{16}}{t}$+$\frac{3}{2}$单调递减，
故y＜-$\frac{1}{4}$-$\frac{9}{4}$+$\frac{3}{2}$=-1，$\frac{1}{t+\frac{\frac{9}{16}}{t}+\frac{3}{2}}$∈（-1，0）；
综上所述，${（\frac{|MO|}{d}）}_{max}$=$\frac{2\sqrt{3}}{3}$．
此时m-$\frac{1}{4}$=$\frac{1}{3}$，则m=$\frac{1}{3}+\frac{1}{4}$=$\frac{7}{12}$，
则|MF|=d=m-（-$\frac{1}{2}$）=$\frac{7}{12}$$+\frac{1}{2}$=$\frac{13}{12}$，
故答案为：$\frac{2\sqrt{3}}{3}$，$\frac{13}{12}$

点评 本题考查抛物线的定义、简单性质，基本不等式的应用，体现了换元的思想，把$\frac{MO}{MF}$化为$\sqrt{1+\frac{m-\frac{1}{4}}{{m}^{2}+m+\frac{1}{4}}}$ 是解题的关键和难点，综合性较强，难度较大．