Question

12．在四棱锥P-ABCD中，△PAD为正三角形，平面PAD⊥平面ABCD，AB∥CD，AB⊥AD，CD=2AB=2AD=4．
（Ⅰ）求证：平面PCD⊥平面PAD；
（Ⅱ）求三棱锥P-ABC的体积；
（Ⅲ）在棱PC上是否存在点E，使得BE∥平面PAD？若存在，请确定点E的位置并证明；若不存在，说明理由．

Answer 1

分析 （Ⅰ）由AB∥CD，AB⊥AD，可得CD⊥AD，再由面面垂直的性质可得CD⊥平面PAD，从而得到平面PCD⊥平面PAD；
（Ⅱ）取AD的中点O，连结PO．由△PAD为正三角形，可得PO⊥AD．进一步得到PO⊥平面ABCD，然后利用棱锥体积公式求得三棱锥P-ABC的体积；
（Ⅲ）在棱PC上存在点E，当E为PC的中点时，BE∥平面PAD．分别取CP，CD的中点E，F，连结BE，BF，EF．可得EF∥PD．再由已知得四边形ABFD为平行四边形，有BF∥AD．由面面平行的判定可得平面BEF∥平面PAD，从而得到BE∥平面PAD．

解答 （Ⅰ）证明：∵AB∥CD，AB⊥AD，
∴CD⊥AD．
∵平面PAD⊥平面ABCD，平面PAD∩平面ABCD=AD，
∴CD⊥平面PAD．
∵CD?平面PCD，
∴平面PCD⊥平面PAD；
（Ⅱ）解：取AD的中点O，连结PO．
∵△PAD为正三角形，
∴PO⊥AD．
∵平面PAD⊥平面ABCD，平面PAD∩平面ABCD=AD，
∴PO⊥平面ABCD，即PO为三棱锥P-ABC的高．
∵△PAD为正三角形，CD=2AB=2AD=4，∴$PO=\sqrt{3}$．
∴${V_{P-ABC}}=\frac{1}{3}{S_{△ABC}}•PO=\frac{1}{3}×\frac{1}{2}×2×2×\sqrt{3}=\frac{{2\sqrt{3}}}{3}$；
（Ⅲ）解：在棱PC上存在点E，当E为PC的中点时，BE∥平面PAD．
分别取CP，CD的中点E，F，连结BE，BF，EF．
∴EF∥PD．
∵AB∥CD，CD=2AB，
∴AB∥FD，AB=FD，则四边形ABFD为平行四边形，得BF∥AD．
∵BF∩EF=F，AD∩PD=D，
∴平面BEF∥平面PAD．
又BE?平面BEF，
∴BE∥平面PAD．

点评 本题考查线面平行、面面垂直的判定，考查空间想象能力和思维能力，是中档题．