Question

7．在空间直角坐标系O-xyz中，已知A（2，0，0），B（0，2，0），C（0，0，0），P（0，1，$\sqrt{3}$），则三棱锥P-ABC在坐标平面xOz上的正投影图形的面积为$\sqrt{3}$；该三棱锥的最长棱的棱长为2$\sqrt{2}$．

Answer 1

分析 根据题意画出图形，利用空间直角坐标系求出三棱锥P-ABC在坐标平面xOz上的正投影图形的面积；
计算三棱锥P-ABC中各棱长，即可得出结论．

解答 解：
如图所示，空间直角坐标系O-xyz中，A（2，0，0），B（0，2，0），
C（0，0，0），P（0，1，$\sqrt{3}$），
在平面yOz中过点P作PM⊥z轴，垂足为M，
则△ACM是三棱锥P-ABC在坐标平面xOz上的正投影图形，
其面积为S_△ACM=$\frac{1}{2}$×2×$\sqrt{3}$=$\sqrt{3}$；
三棱锥P-ABC中，AC=BC=2，AB=2$\sqrt{2}$，
PB=PC=$\sqrt{{1}^{2}{+（\sqrt{3}）}^{2}}$=2，
PA=$\sqrt{{PC}^{2}{+AC}^{2}}$=2$\sqrt{2}$；
∴最长棱的棱长为AB=AP=2$\sqrt{2}$．
故答案为：$\sqrt{3}$；2$\sqrt{2}$．

点评 本题考查了空间直角坐标系的应用问题，是基础题．