Question

15．已知正方形ABCD 的边长为2，E为BC的中点，则$\overrightarrow{AE}$•$\overrightarrow{BD}$=2．

Answer 1

分析 根据两个向量的加减法的法则，以及其几何意义，可得要求的式子为（ $\overrightarrow{AD}$+$\frac{1}{2}\overrightarrow{AB}$）•（ $\overrightarrow{AD}$-$\overrightarrow{AB}$），再根据两个向量垂直的性质，运算求得结果．

解答 解：∵已知正方形ABCD的边长为2，E为CD的中点，则 $\overrightarrow{AB}$•$\overrightarrow{AD}$=0，
故 $\overrightarrow{AE}$•$\overrightarrow{BD}$=（ $\overrightarrow{AD}$+$\overrightarrow{DE}$）•（$\overrightarrow{BA}$+$\overrightarrow{AD}$）=（$\overrightarrow{AD}$+$\frac{1}{2}\overrightarrow{AB}$）•（$\overrightarrow{AD}$-$\overrightarrow{AB}$）
=$\overrightarrow{AD}$²-$\overrightarrow{AD}$•$\overrightarrow{AB}$+$\frac{1}{2}$$\overrightarrow{AB}$•$\overrightarrow{AD}$-$\frac{1}{2}$$\overrightarrow{AB}$²=4+0-0-$\frac{1}{2}$×4=2，
故答案为 2．

点评 本题主要考查两个向量的加减法的法则，向量的数量积的运算，两个向量垂直的性质，属于中档题．