Question

9．已知椭圆C：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞b＞0）的短轴长为2，且离心率为$\frac{\sqrt{3}}{2}$，过原点的直线l交椭圆C于M，N两点．
（1）求椭圆C的标准方程；
（2）点P为线段MN的中垂线与椭圆C的一个公共点，求△PMN面积的最小值，并求此时直线l的方程．

Answer 1

分析 （1）由题意列关于a，b，c的方程组，求解方程组可得a，b，c的值，则椭圆方程可求；
（2）先求出斜率不存在和斜率为0时△PMN的面积；当直线l的斜率存在且不为0时，设直线l的方程为y=kx，联立直线方程与椭圆方程，求出|MN|，再写出线段MN的中垂线方程，联立直线方程与椭圆方程求出|OP|，代入三角形面积公式，利用基本不等式求△PMN面积的最小值，并求此时直线l的方程．

解答 解：（1）由题意可得：$\left\{\begin{array}{l}{2b=2}\\{\frac{c}{a}=\frac{\sqrt{3}}{2}}\\{{a}^{2}={b}^{2}+{c}^{2}}\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}{a=2}\\{b=1}\\{c=\sqrt{3}}\end{array}\right.$．
∴椭圆C的标准方程为$\frac{{x}^{2}}{4}+{y}^{2}=1$；
（2）①当直线l的斜率不存在时，S_△PMN=$\frac{1}{2}$×2b×a=2；
当直线l的斜率为0时，S_△PMN=$\frac{1}{2}$×2b×a=2．
②当直线l的斜率存在且不为0时．
设直线l的方程为：y=kx，
联立$\left\{\begin{array}{l}{y=kx}\\{\frac{{x}^{2}}{4}+{y}^{2}=1}\end{array}\right.$，解得x²=$\frac{4}{1+{k}^{2}}$，y²=$\frac{4{k}^{2}}{1+{k}^{2}}$．
∴|MN|=2$\sqrt{{x}^{2}+{y}^{2}}=4\sqrt{\frac{1+{k}^{2}}{1+4{k}^{2}}}$．
由题意可得：线段MN的中垂线方程为：y=-$\frac{1}{k}$x，
联立$\left\{\begin{array}{l}{y=-\frac{1}{k}x}\\{\frac{{x}^{2}}{4}+{y}^{2}=1}\end{array}\right.$，可得x²=$\frac{4{k}^{2}}{{k}^{2}+4}$，y²=$\frac{4}{{k}^{2}+4}$．
∴|OP|=$\sqrt{{x}^{2}+{y}^{2}}=2\sqrt{\frac{1+{k}^{2}}{{k}^{2}+4}}$．
S_△PMN=$\frac{1}{2}$×|MN|×|OP|=$\frac{4（1+{k}^{2}）}{\sqrt{（1+4{k}^{2}）（{k}^{2}+4）}}$≥$\frac{4（1+{k}^{2}）}{\frac{（1+4{k}^{2}）+（{k}^{2}+4）}{2}}$=$\frac{8}{5}$，
当且仅当k=±1时取等号，此时△PMN的面积的最小值为$\frac{8}{5}$．
∵2＞$\frac{8}{5}$，∴△PMN的面积的最小值为$\frac{8}{5}$，直线l的方程为：y=±x．

点评 本题考查了椭圆的标准方程及其性质，训练了一元二次方程的根与系数的关系、基本不等式的性质和弦长公式的应用，考查了推理能力与计算能力，属于难题．