Question

11．已知锐角三角形ABC的三个内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若sinA=$\frac{{\sqrt{7}}}{4}$，sinC=$\frac{{3\sqrt{7}}}{8}$
（1）求sinB的值；
（2）若|${\overrightarrow{AC}$+$\overrightarrow{BC}}$|=2$\sqrt{23}$，求BC边上的中线的长．

Answer 1

分析 （1）由sinA=$\frac{{\sqrt{7}}}{4}$，sinC=$\frac{{3\sqrt{7}}}{8}$，得cosA=$\frac{3}{4}$，cosC=$\frac{1}{8}$，即sinB=sin（A+C）=sinAcosC+cosAsinC即可．
（2）由|${\overrightarrow{AC}$+$\overrightarrow{BC}}$|=2$\sqrt{23}$，得${b}^{2}+{a}^{2}+\frac{1}{4}ab=92$
又$\frac{a}{b}=\frac{sinA}{sinB}=\frac{4}{5}$，解得a=4$\sqrt{2}$，b=5$\sqrt{2}$
设BC边上的中线为AD，在△ACD中，AD²=AC²+CD²-2AC•CD•cosC=53即可．

解答 解：（1）∵△ABC是锐角三角形，∴cosA＞0，cosC＞0
由sinA=$\frac{{\sqrt{7}}}{4}$，sinC=$\frac{{3\sqrt{7}}}{8}$，得cosA=$\frac{3}{4}$，cosC=$\frac{1}{8}$
∴sinB=sin（A+C）=sinAcosC+cosAsinC=$\frac{\sqrt{7}}{4}$×$\frac{1}{8}$+$\frac{3}{4}×\frac{3\sqrt{7}}{8}$=$\frac{5\sqrt{7}}{16}$
（2）由|${\overrightarrow{AC}$+$\overrightarrow{BC}}$|=2$\sqrt{23}$，得若|${\overrightarrow{AC}$|²+|$\overrightarrow{BC}}$|²+2若|${\overrightarrow{AC}$|•|$\overrightarrow{BC}}$|cosC=92，即${b}^{2}+{a}^{2}+\frac{1}{4}ab=92$
又$\frac{a}{b}=\frac{sinA}{sinB}=\frac{4}{5}$，解得a=4$\sqrt{2}$，b=5$\sqrt{2}$
设BC边上的中线为AD
在△ACD中，AD²=AC²+CD²-2AC•CD•cosC=53
∴$AD=\sqrt{53}$

点评 本题考查了三角恒等变形，正余弦定理，属于中档题．