Question

3．在直三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，AB⊥BC，AB=6，BC=8，若此三棱柱外接球的半径为13，则该三棱柱的表面积为（　　）

• A． 624
• B． 576
• C． 672
• D． 720

Answer 1

分析 求出AC=10，构造长方体ABCD-A₁B₁C₁D₁，长方体ABCD-A₁B₁C₁D₁的外接球就是直三棱柱ABC-A₁B₁C₁的外接球，由此三棱柱外接球的半径为13，得到A₁C=2×13=26，从而AA₁=24，由此能求出直三棱柱ABC-A₁B₁C₁的表面积．

解答 解：在直三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，AB⊥BC，AB=6，BC=8，
∴AC=$\sqrt{36+64}$=10，
构造长方体ABCD-A₁B₁C₁D₁，
∴长方体ABCD-A₁B₁C₁D₁的外接球就是直三棱柱ABC-A₁B₁C₁的外接球，
∵直三棱柱ABC-A₁B₁C₁外接球的半径为13，
∴A₁C=2×13=26，∴AA₁=$\sqrt{2{6}^{2}-1{0}^{2}}$=24，
∴直三棱柱ABC-A₁B₁C₁的表面积为：
S=2S_△ABC+${S}_{矩形BC{C}_{1}{B}_{1}}$+${S}_{矩形AB{B}_{1}{A}_{1}}$+${S}_{矩形AC{C}_{1}{A}_{1}}$
=2×$\frac{1}{2}×6×8$+8×24+6×24+10×24
=624．
故选：A．

点评 本题考查三棱柱的表面积的求法，考查直三棱锥及外接球、勾股定理、构造法等基础知识，考查推量论证能力、运算求解能力，考查化归与转化思想、函数与方程思想，是中档题．